EXPOSE SUR LES CONIQUES

« EXPOSE SUR LES CONIQUES I. ÉTUDE GENERALE DES CONIQUES 1) DEFINITIONS ET PROPRIETES 1.1 Définition générale des coniques Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l’intersection d’un plan et d’un cône de révolution. Selon les positions relatives d'un plan et d'un cône, on obtient différents types de coniques Si l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône est :  Supérieur à l’angle l'intersection du cône, c’est une ellipse ;  Inférieur à l'angle d'ouverture du cône, c'est une hyperbole ;  Égal à l'angle d'ouverture du cône, c'est une parabole  Inférieur de 45° à l'angle d'ouverture du cône ; c’est une hyperbole équilatérale Aussi le conique est un cercle lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe du cône 1.2 Définition d’une conique par foyer et directrice Soit (D) une droite, F un point il n’appartenant pas à (D) et e un nombre réel strictement positif.

On appelle conique de foyer E, de directrice (D) et d'excentricité de l'ensemble (T) des points M du plan tels que , où H désigne le projeter orthogonal de M sur (D)    SI 𝑒 = 1 alors (Γ) est une parabole. Si 0 < 𝑒 < 1 alors (Γ) est une ellipse. Si 𝑒 > 1 alors (Γ) est une hyperbole. PROPRIETE 1 Soit (Γ) une conique de foyer 𝐹 et de directrice (𝒟). La droite (∆) passant par 𝐹 et perpendiculaire à (𝒟) est un axe de symétrie de (Γ) (Δ) est appelée l’axe focal de la conique (Γ). PROPRIETE 2 Soit (Γ) une conique d’excentricité 𝑒 et d’axe focal (Δ).  Si 𝑒 = 1, alors (Γ) coupe (Δ) en un point 𝑆.

Le point 𝑆 est appelé sommet de la parabole.  Si 𝑒 ≠ 1, alors (Γ) coupe (Δ) en deux points 𝐴 et 𝐴′.  Les points 𝐴 et 𝐴′ sont les sommets de la conique situés sur l’axe focal. REMARQUE Soit 𝐾 est le projeté orthogonal de 𝐹 sur (𝒟).  Si 𝑒 = 1, alors 𝑆 est le milieu de [𝐹𝐾]. Si 𝑒 ≠ 1, alors 𝐴 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐹, 1); (𝐾, 𝑒)} et 𝐴′= 𝑏𝑎𝑟{(𝐹, 1); (𝐾;−e)} 2) REGIONNEMENT DU PLAN PAR CONIQUE DEFINITION Soit (Γ) une conique de foyer 𝐹, de directrice (𝒟) et d’excentricité 𝑒.

Pour tout point 𝑀 du plan dont le projeté orthogonal sur (𝒟) est 𝐻, on a :  𝑀 est intérieur à (Γ) si 𝑀𝐹 < 𝑒𝑀𝐻.  𝑀 est extérieur à (Γ) si 𝑀𝐹 > 𝑒𝑀𝐻 REMARQUE Le foyer 𝐹 d’une conique est intérieur à cette conique. Tout point de la directrice (𝒟) d’une conique est extérieur à cette conique. II.

EQUATION REDUITE D’UNE CONIQUE 1) EQUATION REDUITE D’UNE PARABOLE Soit (P) la parabole de foyer F et de directrice (D). On désigne par K le projeté orthogonal de F sur (D) ; le milieu de [FK] est le sommet S de (P).On munit le plan d'un repère orthonormé (S ,) tel que : =. On pose.... »