document

« G´eom´etrie vectorielle analytique1`ere S I - Rappels : Rep`ere, coordonn´ees et ´equation r´eduite de droite D´enition Un rep`ere du plan est constitu´e par : •le choix d’un point origine du rep`ere (not´e en g´en´eralO) • le choix d’un couple de vecteurs non colin´eaires (en g´en´eral(~ i, ~ j )). On note un tel rep`ere (O ;~ i, ~ j ). Rep`ere orthonormal ~i ⊥ ~ j , et k~ i k = k~ j k O ~ i ~j Rep`ere orthogonal ~i ⊥ ~ j O ~ i ~j Rep`ere quelconque ~i , ~ j quelconques O ~ i ~j Th´eor`eme Dire que le point Ma pour coordonn´ees (x ;y ) dans le rep`ere (O ;~ i, ~ j ) signie que : −−→ OM =x~ i + y~ j Les coordonn´ees d’un vecteur ~wsont cel les du point M tel que −−→ OM =~w. ~ i ~ j O M ~w x y Propri´et´e Dans le rep`ere (O ;~ i, ~ j ). 1) Deux vecteurs sont ´egaux si et seulement si ils ont les mˆe mes coordonn´ees : si ~u(x ;y ) et, ~v(x ′ ; y ′ ) alors, ~u= ~v⇐⇒ x= x′ y = y′ 2) Si ~ua pour coordonn´ees (x ;y ) et ~va pour coordonn´ees (x ′ ; y ′ ) , alors ~u+ ~va pour coordonn´ees (x + x′ ; y + y′ ) . Le vecteur k~ua pour coordonn´ees (kx ;ky ). 3) Si Aet B sont deux points de coordonn´ees (x A , y A) et (x B , y B) alors, • −→ AB a pour coordonn´ees (x B − x A ; y B − y A ) • le milieu Ide [AB ]a pour coordonn´ees xA + x B 2 ; y A + y B 2 • si le rep`ere (O ;~ i, ~ j ) est orthonormal, alors la longueur du vecteur −→ AB est AB = ( x B − x A )2 + ( y B − y A )2 Y.

Morel xymaths.free.fr G´eom´etrie vectorielle analytique 1`ere S 1/ 5. »