Cours Chapitre 1 suites

« Chapitre 1 : Suites (partie 1) I. Généralités sur les suites (rappels) 1.

Définitions, notations, vocabulaire Définition : une suite réelle 𝑢 est une fonction définie sur ℕ à valeurs dans ℝ.

Elle se note (𝑢𝑛 )𝑛≥0 ou encore (𝑢𝑛 ). Le nombre réel 𝑢𝑛 est le terme de rang (ou d’indice) 𝑛 de la suite. 𝑢0 est le terme initial de la suite. Exemple 1 : la suite des entiers naturels impairs est la suite 𝑢 donnée par : 𝑢0 = 1, 𝑢1 = 3, 𝑢2 = 5, … Remarque : certaines suites ne sont définies que pour 𝑛 ≥ 1 ou même pour 𝑛 supérieur à n’importe quel 1 entier fixé.

Par exemple la suite 𝑣 définie par 𝑣𝑛 = 𝑛 est définie seulement pour 𝑛 ≥ 1. Exemple 2 : soit 𝑢 la suite définie sur ℕ par 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 3.

Alors : 𝑢0 = 2 × 0 + 3 = 3, 𝑢1 = 2 × 1 + 3 = 5, etc. Définition : on peut définir une suite 𝑢 de deux façons : - De façon explicite : comme ci-dessus, on donne 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

On a donc une fonction 𝑓 telle que 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛). - Par récurrence : on donne le terme initial et chaque terme en fonction du (ou des) précédent(s). Le plus souvent on a 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑢𝑛 . Exemples : la suite 𝑢 définie sur ℕ par 𝑢𝑛 = −𝑛 + 3 est définie de façon explicite.

On peut directement calculer n’importe quel terme, par exemple 𝑢10 = −10 + 3 = −7. 𝑣0 = 1 est définie par récurrence.

On peut calculer 𝑣1 = 𝑣0 + 2 = 3, 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + 2 𝑣2 = 𝑣1 + 2 = 3 + 2 = 5, etc.

Mais à priori pour calculer un terme de rang donné il faut connaître tous les termes qui le précédent. La suite 𝑣 définie sur ℕ par { Définition : une suite 𝑢 est dite : - Croissante (respectivement strictement croissante) si, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 (respectivement 𝑢𝑛+1 > 𝑢𝑛 ) - Décroissante (respectivement strictement décroissante) si, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 (respectivement 𝑢𝑛+1 < 𝑢𝑛 ) - Monotone si elle est toujours croissante ou toujours décroissante. - Constante si pour tout entier naturel 𝑛 on a 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 . Remarque : Généralement en pratique pour étudier les variations d’une suite on étudie le signe de la différence 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 .

S’il est (strictement) positif la suite est (strictement) croissante, sinon elle est (strictement) décroissante. 1 Exemple : étudier les variations de la suite 𝑢 définie pour tout 𝑛 ≥ 1 par 𝑢𝑛 = 𝑛. 1 1 𝑛 𝑛+1 −1 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑛+1 − 𝑛 = 𝑛(𝑛+1) − 𝑛(𝑛+1) = 𝑛(𝑛+1) qui est toujours strictement négatif.

Donc 𝑢 est strictement décroissante. Définition : une suite 𝑢 est dite : - Minorée s’il existe un réel 𝑚 tel que pour tout entier naturel 𝑛 on a 𝑢𝑛 ≥ 𝑚. - Majorée s’il existe un réel 𝑀 tel que pour tout entier naturel 𝑛 on a 𝑢𝑛 ≤ 𝑀. - Bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Exemple : montrer que la suite 𝑢 définie sur ℕ par 𝑢𝑛 = 3𝑛+1 𝑛+1 On va montrer que 𝑢𝑛 − 3 est toujours négatif.

𝑢𝑛 − 3 = 3𝑛+1 − 𝑛+1 est majorée par 3. 3= 3𝑛+1 𝑛+1 − 3(𝑛+1) 𝑛+1 −2 = 𝑛+1 qui est toujours négatif.

Donc 𝑢 est bien majorée par 3. Remarque : un majorant n’est pas nécessairement le « meilleur » majorant.

Il peut en exister des plus petits. 2.

Suites arithmétiques, géométriques. a) Suites arithmétiques Définition : une suite 𝑢 est dite arithmétique s’il existe un nombre réel 𝑟 tel que, pour tout entier naturel 𝑛, on ait 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑟. Le nombre 𝑟 s’appelle la raison de la suite. Exemple : la suite 𝑢 définie sur ℕ par { 𝑢0 = 2 est arithmétique de premier terme 2 et de raison 4. 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 4 Propriété : si 𝑢 est une suite arithmétique de raison 𝑟 et - de premier terme 𝑢0 : alors 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 pour tout 𝑛 ≥ 0. de premier terme 𝑢1 : alors 𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑟 pour tout 𝑛 ≥ 1. Remarque : plus généralement si 𝑢 est une suite arithmétique de raison 𝑟 et de premier terme 𝑢𝑝 alors on a 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 + (𝑛 − 𝑝)𝑟 pour tout 𝑛 ≥ 𝑝. Exemple : dans l’exemple précédent, la suite 𝑢 a pour forme explicite : 𝑢𝑛 = 2 + 4𝑛. Propriété : soit 𝑢 une suite arithmétique de raison 𝑟. - Si.... »