cour sur les limites de suites

« 1 LES SUITES 1- Limite finie ou infinie d'une suite 11) Limite infinie Exemple : 2 La suite (un) définie sur ℕ par u n=n a pour limite + ∞. En effet, les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle ¿ a ;+∞ ¿ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite + ∞ si tout intervalle ¿ a ;+∞ ¿, a réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : lim u n=+∞ . n →+ ∞ - On dit que la suite (un) admet pour limite −∞ si tout intervalle ¿−∞ ; b ¿ , b réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : lim u n=−∞. n →+ ∞ Algorithme permettant de déterminer un rang à partir duquel une suite croissante de limite infinie est supérieure à un nombre réel A : On considère la suite (un) définie par u 0=2 et pour tout entier n, u n+1 =4 u n. Cette suite est croissante et admet pour limite + ∞. En appliquant cet algorithme avec A = 100, on obtient en sortie n = 3. A partir du terme u3, les termes de la suite dépassent 100. Python En Python, cela donne : 12) Limite finie 1 2 a pour limite 1. n En effet, les termes de la suite se resserrent autour de 1 à partir d'un certain rang. Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant 1, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle à partir d'un certain rang. Exemple : La suite (un) définie sur ℕ* par u n=1+¿ 2 Définition : On dit que la suite (un) admet pour limite L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et on note : lim u n=L . n →+ ∞ Une telle suite est dite convergente. Définition : Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente. Remarque : Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie. n Par exemple, la suite de terme générale (−1 ) prend alternativement les valeurs –1 et 1.

Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie.

Elle est donc divergente. 13) Limites des suites usuelles Propriétés : 2 - lim n=+∞ , lim n =+∞ , lim √ n=+∞ . n →+ ∞ - lim n →+ ∞ 1 =0 , n n →+ ∞ 1 lim 2 =0 , n →+ ∞ n n →+ ∞ lim n →+ ∞ 1 =0. √n 1 =0 n →+ ∞ n Soit un intervalle quelconque ouvert ¿−a ; a ¿, a réel positif non.... »