Chapitre 10 – Primitives et équations différentielles

« Chapitre 10 – Primitives et équations différentielles Cette section introduit la notion d’équation différentielle sur des cas simples.

Les élèves découvrent en situation le concept d’équation dont l’inconnue est une fonction.

L’équation 𝑦’ = 𝑓 est l’occasion de définir la notion de primitive. Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, ce qui permet de traiter les cas usuels par lecture inverse du tableau des dérivées.

Il est utile d’admettre ici que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, résultat qui est démontré dans la section sur le calcul intégral.

On note aussi que, pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite. L’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 est l’occasion de réinvestir les propriétés de la fonction exponentielle.

Lorsque b = 0, on remarque que la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions. Pour travailler le concept d’équation différentielle, on peut donner d’autres exemples d’équations différentielles, dont on peut donner des solutions sans en faire de résolution complète : 𝑦’ = 𝑦², 𝑦’’ + 𝜔²𝑦 = 0.

Aucune connaissance n’est exigible sur ces exemples. Contenus • Équation différentielle y’ = ƒ.

Notion de primitive d’une fonction continue sur un intervalle.

Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante. 1 • Primitives des fonctions de référence : 𝑥 ↦ 𝑥 𝑛 pour 𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ↦ 𝑥 ,exponentielle, sinus, cosinus √ • Equation différentielle 𝑦 ′ = 𝑎𝑦, où a est un nombre réel ; allure des courbes.

Equation différentielle 𝑦 ′ = 𝑎𝑦 + 𝑏 Capacités attendues • Calculer une primitive en utilisant les primitives de référence et les fonctions de la forme (𝑣’ ○ 𝑢) × 𝑢’. • Pour une équation différentielle 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0) : déterminer une solution particulière constante ; utiliser cette solution pour déterminer toutes les solutions. • Pour une équation différentielle y’ = ay + ƒ : à partir de la donnée d’une solution particulière, déterminer toutes les solutions. Démonstration • Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante. • Résolution de l’équation différentielle 𝑦’ = 𝑎𝑦 où a est un nombre réel. Exemple d’algorithme • Résolution par la méthode d’Euler de 𝑦’ = 𝑓, de 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏. Approfondissements possibles • Autres exemples d’équations différentielles, éventuellement en lien avec une modélisation, par exemple l’équation logistique. Histoire des mathématiques Vers 1680, le mathématicien anglais Isaac Newton définit la dérivation de manière intuitive.

Il conçoit la recherche de primitives d'une fonction comme « une dérivation à l'envers ». Avec les travaux de Newton et ceux du mathématicien allemand Gottfried Leibniz qui, en 1684, expose la résolution de certaines équations différentielles, l'analyse mathématique devient un outil pour la physique moderne.

En particulier, elle sert à décrire la loi de gravitation universelle et le mouvement des planètes du système solaire. À la fin du 19e siècle, des mathématiciens tels que Henri Poincaré et Lazarus Fuchs réalisent des progrès considérables en résolvant des équations différentielles plus variées.

Ils montrent l'importance des conditions initiales dans la stabilité des solutions. Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) est sarde, naturalisé français.

Il est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens du 18ème siècle ; il introduit de nouvelles méthodes pour le calcul des variations et l’étude des équations différentielles. Georges Birkhoff (1884-1944) est un mathématicien américain.

Il fait progresser l’étude des équations différentielles, et développe la théorie des systèmes dynamiques différentiels. I – Notion d’équations différentielles et primitives d’une fonction 1.

Notion d’équation différentielle. Définition : On appelle équation différentielle une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction et qui lie cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées successives. Vocabulaire : L'ordre d'une équation différentielle donnée correspond à l'ordre maximal de dérivation présent dans cette équation différentielle. Remarque : L'inconnue d'une équation différentielle est souvent notée 𝑦.

Elle représente une fonction (et non plus un nombre). Exemples : 1.

𝑦 ′ + 2𝑦 + 0 est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. 2.

𝑦 ′ + 2𝑦 = 4 est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. 3.

𝑦 ′ + 𝑦 2 = 0 est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. 4.

𝑡𝑦 ′ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 0 est une équation différentielle du premier ordre à coefficients non constants. 5.

𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. 6.

𝑦 ′ = 5𝑦 est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants Remarque : Les notations 𝑦 et 𝑦 ′ sont des abus de langage et de notation, courants dans ce contexte, qui assimilent 𝑦 à 𝑦(𝑥) et 𝑦 ′ à 𝑦 ′ (𝑥) En toute rigueur, l’équation différentielle 𝑦′ = 5𝑦 devrait s’écrire comme l’équation (E) d’inconnue 𝑦 telle que pour tout réel 𝑥 (à supposer que ℝ soit l’intervalle de travail), 𝑦′(𝑥) = 5𝑦(𝑥). Définition : Soit 𝑛 un entier naturel non nul.

Résoudre une équation différentielle d’ordre 𝑛 sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions définies sur 𝐼 et dérivables 𝑛 fois sur 𝐼, vérifiant cette équation. On dit qu’une telle fonction est solution sur 𝐼 de l’équation différentielle. Application 1 : Vérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle. On considère l’équation différentielle (𝐸) : 𝑦′ = 5𝑦. 1.

Justifier que les fonctions 𝑔 et ℎ, définies et dérivables sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 𝑒 5𝑥 et ℎ(𝑥) = 𝑒 5𝑥+2 sont solutions de l’équation différentielle (𝐸) 𝑦′ = 5𝑦. 2.

Proposer une autre fonction solution de l’équation différentielle (𝐸). Application 2 : Vérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle. On considère l’équation différentielle (𝐸) : 𝑥𝑦 ′ (𝑥) + 𝑦(𝑥) = 𝑥². 1 3 Vérifier que la fonction définie sur ℝ par ℎ(𝑥) = 𝑥² est solution de l’équation différentielle (𝐸). 2.

Equation différentielle de la forme 𝑦 ′ = 𝑓 Propriété admise : Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 . On dit qu'une fonction 𝑔 définie sur 𝐼 est une solution de l'équation différentielle 𝑦 ′ = 𝑓 sur 𝐼 lorsque 𝑔 est dérivable sur 𝐼 et que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑔′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). Application 3 : 1) Soit l’équation différentielle 𝑦 ′ = 5𝑥 + 3.

Démontrer que la fonction 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 5 2 𝑥 2 + 3𝑥 − 7 est une solution de cette équation. 2) Soit l’équation différentielle 𝑦 ′ = ln 𝑥.

Démontrer que la fonction 𝑔 définie sur ]0; +∞[ par 𝑔(𝑥) = 𝑥(ln(𝑥) − 1) est une solution de cette équation. II - Primitives d’une fonction 1.

Définition : Définition : soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼. On considère l’équation différentielle 𝑦 ′ = 𝑓. Les solutions, sur 𝐼, de cette équation différentielle sont appelées les primitives de 𝒇 sur 𝐼. Ainsi une primitive de 𝑓 sur 𝐼 est une fonction 𝐹 définie et dérivable sur 𝐼 et telle que, pour tout réel 𝑥 de 𝐼 on a 𝑭′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) Théorème admis : toute fonction continue sur un intervalle 𝐼 admet des primitives sur cet intervalle Remarque : Ce théorème assure l'existence de primitives d'une fonction continue sur un intervalle.

Cependant, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. 2 Par exemple, la fonction 𝑥 ↦ 𝑒 𝑥 est continue sur ℝ comme composée de fonctions continues sur ℝ ; elle admet donc des primitives sur ℝ .

Mais on ne peut pas écrire ses primitives à l'aide de fonctions usuelles. Application 4 : Vérifier qu’une fonction est une primitive Méthode : Pour vérifier qu’une fonction 𝐹 est une.... »