Valeur moyenne d'une fonction

« 'T Valeur moyenne d 'une fonction L'essentiel du cours • La valeur moye nne d'une fonction f sur un intervalle [a; b] est éga le au rée l:µ= -1-J b f(x)dx.

b-a o Exemples • Soit la fonction f: x.....,.

e" défin ie et continue sur IR.

La valeur moyenne de f sur l'intervalle [o; 2] est µ = _1_f2 e2x dx = ~[~e 2•]2 = ~ (e• -eo) = e• -1_ 2-0 0 2 2 0 4 4 • Soit la fonc tio n g : x,....

3x2 + 2X défin ie et continue sur R La valeur moyenne de g sur l'inte rvalle (-1 ; 1] est: ' 1 J 1 2 1 [ 3 2 ]l 1 µ = -- (3X + 2x)dx = - X + X = -(1 + 1- (-1 + 1)) = 1.

1-(-1) -1 2 -1 2 Exercices résolus Exercice 1 Déterminer la valeur moyenne de la fonction f défin ie par f(x) = (2x + 3Je •'•3•-1 sur (1; 3].

On pourra poser u(x) = x2 + 3x -1 sur l'intervalle (1; 3] et calculer u'(x).

Corrigé On remarque que la fonc tion! est du type u' • e".

En posant u(x) = x' + 3x -1 pour tout nomb re réelx , la dér ivée est alors défi nie par u'(x) = 2x + 3.

Une primitive defsera de la forme e".

la valeu r moyenne de la fonct ion f sur l'intervalle (1 ; 3] est égale à : l J b ( ) ,, • 3x -1 d l [ x' • 3x -1 J 3 l ( 3' • 3 • 3 -1 1 '+ 3 xi -1) e'7 -e3 µ = -- 2x + 3 e x= -e = -e -e = --.

3- 1 o 2 1 2 2 Exercice 2 Soit fla fonction défin ie, pour tout nombre réelx , par f(x) = -o,0032x 3 + o,o6x 2 + 5.

rour tout entier n vér ifü nt o < n < 20, on décide de modéliser la dépense des mé nages français en programmes aud iovisuels exprimée en milliards d'euros , au cours de l'année n par le nombrej(n) .

On veut utiliser la fonctionf pour estimer la dépense moy enne des ménages ent re l J20 le l" janvier 1995 et le l" janvier 2015.

On calcule pour cela M =- f(x)dx .

20 0 1.

Détermi ner une primitive F de la fonctionf sur l'intervalle [o; 20].

2.

Calculer M.. »