sujets type bac

« n ; Enseignement de spécialité < ÉPREUVE COMMUNE DE MATHÉMATIQUES Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice est autorisé. Tout prêt de matériel est interdit. Les téléphones et objets connectés doivent être éteints et rangés dans les sacs. Le candidat traite les 4 exercices donnés dans ce sujet. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 5/4.

Assurez-vous qu’il est complet. Lycée Charles Péguy 1/4 Mars 2025 Exercice 1 (5 points) La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle. Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 % chaque année. Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année. On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps.

Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite (u n ) où u n représente l’effectif de la population au début de l’année 2020 + n. Au début de l’année 2020, la population étudiée compte 2 000 individus, ainsi u 0 = 2 000. On admet que pour tout entier naturel n, u n Ê 0. 1) Justifier que la suite (u n ) vérifie la relation de récurrence : u n+1 = 0, 9 u n + 100. 2) Calculer u 1 puis u 2 . 3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 1 000 < u n+1 É u n . 4) La suite (u n ) est-elle convergente ? Justifier la réponse. 5) On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n − 1 000. a.

Montrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 0, 9. b.

En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 1 000 (1 + 0, 9n ). c.

Déterminer la limite de la suite (u n ) puis en donner une interprétation dans le contexte de cet exercice. 6) On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil S (avec S > 1 000). a.

Déterminer le plus petit entier n tel que u n É 1 020.

Justifier la A réponse par un calcul. 1 def population(S) : 2 n=0 b.

Dans le programme Python ci-contre, la variable n désigne le 3 u=2000 nombre d’années écoulées depuis 2020, la variable u désigne 4 while ......

: l’effectif de la population. 5 u= ... Recopier et compléter ce programme afin qu’il retourne le 6 n = ... nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la popu7 return ... lation passe en dessous du seuil S. Exercice 2 (5 points) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. ¡ ¢3 1) Affirmation 1 : Pour tous réels a et b, on a l’égalité : ea+b = e3 a + e3 b . 2) On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie sur x −∞ 5 1 3 −2 R\{−2}. +∞ f −∞ −∞ −2 Affirmation 2 : La droite d’équation y = −2 est asymptote horizontale à la courbe F représentant la fonction f . Lycée Charles Péguy 2/4 Mars 2025 3) On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0; +∞[ par g (x) = x e−4 x+1 . Affirmation 3 : La fonction g admet un maximum sur [0; +∞[. 4) On considère la suite (u n ) définie pour tout n ∈ N par un = n e−n . Affirmation 4 : la suite (u n ) est convergente. 5) On considère la fonction Seuil écrite en Python : L’exécution pour une valeur de A renvoie la valeur 15. Affirmation 5 : 14 ln(2) É A < 15 ln(2). Exercice 3 (5 points) Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité 1 cm, on considère les points D(3 ; 1 ; 5), E(3 ; −2 ; −1), F(−1 ; 2 ; 1), G(3 ; 2 ; −3). − → −→ 1) a.

Déterminer les coordonnées des vecteurs EF et FG. b.

Justifier que les points E, F et G ne sont pas alignés. 2) a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG). b.

On appelle H le point de coordonnées (2 ; 2 ; −2). Vérifier que H est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG) . c.

Montrer que l’aire du triangle EFG est égale à 12 cm2 .   2  3) a.

Démontrer que le vecteur ~ n 1 est un vecteur normal au plan (EFG). 2 b.

Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG) . c.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d ) passant par le point D et orthogonale au plan (EFG) . d.

On note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG). À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point K. 4) a.

Vérifier que la distance DK est égale à 5 cm. b.

En déduire le volume du tétraèdre DEFG. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : V = 13 B h, où B est l’aire d’une base et h est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base. Lycée Charles Péguy 3/4 Mars 2025 Exercice 4 (5 points) On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = (2 − ln(x)) × ln(x), où ln désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et C 0 la courbe représentative de la fonction f 0 , fonction dérivée de la fonction f . La courbe C 0 est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale (T) (au point S). 2,0 1,8 1,6 On rappelle que la courbe C 0 représente la fonction dérivée f 0 1,4 C0 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 b (T) S 1) Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner : a.

le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse 1. b.

le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe. 2) a.

Calculer la limite de la fonction f en +∞. b.

Calculer lim f (x).

Interpréter graphiquement ce résultat. x→0 3) Montrer que la courbe C coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées. 4) a.

Montrer que pour tout réel x appartenant à ]0 ; +∞[ : f 0 (x) = 2(1 − ln(x)) . x b.

En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[. 5) On note f 00 la dérivée seconde de f et on admet que pour tout réel x appartenant à ]0 ; +∞[, on a : f 00 (x) = 2(ln(x) − 2) . x2 Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe et préciser les coordonnées du point d’inflexion de la courbe C . Lycée Charles Péguy 4/4 Mars 2025 # MathALÉA EX 1 La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle. Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 % chaque année. Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année. On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite (un ) où un représente l’effectif de la population au début de l’année 2020 + n. On admet que pour tout entier naturel n, un ⩾ 0. Au début de l’année 2020, la population étudiée compte 2000 individus, ainsi u0 = 2000. 10 = 1 − 0, 10 = 0, 9. 100 On multiplie donc l’effectif de l’année n, un par 0,9 puis on augmente cet effectif de 100 : on a donc 1.

Diminuer de 10 % c’est multiplier par 1 − un+1 = 0, 9un + 100. • u0 = 2000,d’où u1 = 0, 9 × 2000 + 100 = 1800 + 100 = 1900 ; • u1 = 1900,d’où u2 = 0, 9 × 1900 + 100 = 1710 + 100 = 1810. 3.

Initialisation : 1000 < 1900 ⩽ 2000, soit 1000 < u1 ⩽ u0 : l’encadrement est vrai au rang n = 0. Hérédité : on suppose que pour n ∈,.... »