Quels modèles discrets peut-on considérer pour l’étude de l’évolution d’une population ?

« Quels modèles discrets peut-on considérer pour l'étude de l'évolution d'une population ? 🕒 20 min ⌨ 20 points INTÉRÊT DU SUJET • Qu'il s'agisse d'étudier des bactéries, les habitants d'une région ou les malades d'une épidémie, le choix du modèle pour décrire l'évolution d'une population peut avoir des conséquences importantes sur l'analyse. 1er temps • Présentation d'une question problématisée ⏱ 10 min Les titres en couleurs mettent en évidence la structure de cette présentation. Introduction [Accroche] Fin 2019 a commencé en Chine la pandémie de Covid-19.

[Présentation du sujet] Plusieurs prédictions ont alors été présentées au public quant au développement de l'épidémie. [Formulation de la problématique] Je me suis ainsi rendu compte que différents modèles mathématiques sont utilisés par les scientifiques pour étudier l'évolution du nombre de personnes d'une population.

[Annonce du plan] Je considèrerai ici deux modèles mathématiques discrets : le modèle de Malthus puis celui, plus élaboré, de Verhulst. LE SECRET DE FABRICATION Votre plan doit être simple.

Commencez par le modèle de Malthus, signalez ses limites, avant d'aborder le modèle de Verhulst. I.

Le modèle de Malthus À NOTER On peut également utiliser ce modèle pour étudier l'évolution d'autres types de population, comme celle de bactéries dans un milieu donné. ■ D'après Thomas Malthus (1766-1834), l'accroissement annuel de la population mondiale est proportionnel à son effectif.

Le coefficient de proportionnalité dépend des taux de mortalité et de fertilité. ■ Cela entraîne que, si on note Hn le nombre d'habitants au bout de n années, alors (H n ) est une suite géométrique de raison λ > 1 + f - m, où f (resp.

m) est le taux de fertilité (resp.

mortalité).

Le modèle obtenu est alors exponentiel.

Ainsi, comme attendu : - si f > m alors λ > 1 et la population croît ; - si f = m alors λ = 1 et la population stagne ; - si f < m alors λ < 1 et la population décroît. ■ On sait d'autre part qu'une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1 admet pour limite 0, donc si λ < 1 (λ est positive) la population tend à s'éteindre.

On sait également qu'une suite géométrique de raison strictement supérieure à 1 tend vers + ∞, donc si λ > 1, la population tend à devenir infinie ! CONSEIL Cette limite s'obtient en utilisant l'inégalité de Bernoulli que vous pourrez énoncer si le jury vous le demande.

Vous pouvez aussi vous appuyer sur un support écrit (voir ci-après). [Transition] Cette évolution n'est évidemment pas raisonnable puisque la quantité de ressources disponibles sur Terre est limitée. II.

Le modèle de Verhulst ■ Pour tenir compte des limites environnementales, Pierre-François Verhulst (1804-1849) adopte le modèle logistique et postule que l'évolution d'une population d'une année sur l'autre est régie par la relation : P(n + 1) − P(n) = aP(n) (1 − P(n) K ), où P(n) est l'effectif de la population l'année n, le premier facteur aP(n) tient compte de la croissance naturelle de la population et le second facteur 1 − maximale du milieu. P(n) K de la capacité d'accueil ■ Selon ce modèle, une population de petite taille a tendance à croître pour atteindre un effectif limite K ; a contrario, une population de grande taille a tendance à décroître vers cette limite K. Le modèle logistique d'évolution d'une population se représente par une courbe en « S » appelée sigmoïde. CONSEIL Vous pourrez tracer cette sigmoïde lors du temps de préparation pour la présenter au jury. Vous pourrez également écrire l'équation logistique : P(n + 1)=.... »