proba prepa

« Les probas Tout ce que tu as besoin de savoir avant la prépa Ce qu’on va couvrir • Pourquoi tout le monde est nul en probas • Définitions • Les trois seules règles à mémoriser • Lois usuelles • BONUS: le dénombrement BONUS n°1 Récupère le PowerPoint en description Conseils de pro • Prends des notes, même si tu as le PowerPoint • Regarde la vidéo en plusieurs fois Pourquoi tout le monde est nul en probas Et comment devenir meilleur Pourquoi tout le monde est nul en probas • Les profs de lycée • C’est très abstrait • Cercle vicieux Ce qu’il te faut pour progresser • Tu n’as pas besoin de prendre des cours particuliers • Tu n’as pas besoin de faire pleins d’exos • Tu n’as pas besoin d’abandonner les maths • Tu as besoin de clarté Comment rendre les probas plus claires pour toi? • Oublie tout ce que tu as appris • On va tout réapprendre de zéro • Il te faut bien comprendre quels objets tu utilises quand tu fais des probas • Et apprendre de manière claire des techniques Définitions (80 % du travail) Possibilités • On parle aussi d’issues • Quand on fait une expérience, il y a différentes possibilités de résultat (il n’y a pas d’intérêt sinon) • Exemple: on lance un dé, quels sont les possibilités? • {1,2,3,4,5,6} Évènement • C’est un cercle (ou un ensemble) qui contient une ou plusieurs possibilités • BONUS: si un évènement contient une seule possibilité, on l’appelle évènement unitaire • Exemple: A=[On tire un nombre pair], B=[On tire un multiple de 3] • Quels sont les possibilités contenues dans chaque évènement? Complémentaire (Ᾱ) • C’est l’ensemble des possibilités qui ne sont pas contenues dans A, et on le note Ᾱ • Qui est Ᾱ dans notre exemple du dé? BONUS: Ω • C’est l’ensemble des possibilités, que l’on appelle univers ou univers des possibles • Il change en fonction de l’expérience • On note ω ∈ Ω un évènement/une possibilité (au hasard) • (tu remarqueras qu’on met aussi les évènements dans Ω, c’est pas très rigoureux mais c’est admis par tout le monde) • Qui est Ω dans l’exemple du dé? • Son complémentaire est l’ensemble vide ∅ Intersection d’évènements A∩B • C’est l’ensemble des possibilités qui appartiennent à A et à B (c’est un EVENEMENT) • On le note A∩B={ω∈Ω, ω∈ A, ω∈ B} • Qui est A∩B dans notre exemple du dé? • Pour N évènements, on notera leur réunion ∩ An Union d’évènements AUB • C’est l’ensemble des possibilités qui appartiennent à A ou à B (c’est un EVENEMENT) • On le note A∩B={ω∈Ω, ω∈ A ou ω∈ B} • Qui est AUB dans notre exemple du dé? • Pour N évènements, on notera leur réunion U An Système complet d’évènements (SCE) • C’est un groupe d’évènements An avec des caractéristiques spéciales: • U An = Ω • ∀ (n,k) ∈ ⟦1,N⟧, An ∩ Ak = ∅ Indépendance d’évènements • Deux évènements A et B sont indépendants s’ils n’influent pas l’un sur l’autre • Propriété: A et B sont indépendants ⬄ P(A∩B) = P(A).P(B) • Exemple: je lance deux pièces en même temps, A=« j’obtiens face sur la première pièce », B=« j’obtiens face sur la deuxième pièce » • Ici, A et B sont indépendants Inclusion d’évènements • On dit que A est inclus dans B (et on note A⊂B), si toutes les possibilités que A contient sont aussi contenues dans B • On note A⊂B ⬄ ∀ω∈ A, ω∈ B • Donne un exemple d’évènement inclus dans un autre dans notre exemple (crée deux évènements) Cardinal • C’est le nombre de possibilités dans un évènement • On le note card(A) • Quel est card(B) dans notre exemple? • Quel est card(Ω) dans notre exemple Probabilité • C’est la « chance » qu’un évènement soit réalisé • C’est une opération qui prend un EVENEMENT et qui renvoie un NOMBRE (compris entre 0 et 1) • Formule: P(A) = card(A) / card(Ω) • Quel est P(A) dans notre exemple? P(B)? • Formules: P(A) + (Ᾱ) = 1, P(Ω) =1 Variable aléatoire réelle • C’est une fonction qui prend un EVENEMENT et qui renvoie un REEL (X: Ω-> R) • Exemple: on lance notre dé, si A est réalisé on gagne 5€, sinon on perd 3€.

On note X le gain réalisé (en euros) • X(A) = 5 • X(Ᾱ) = -3 Loi de probabilité d’une VAR • On va toujours chercher la loi de probabilité d’une VAR X: • X(Ω) (l’ensemble des réels atteints par X) • ∀ k∈ X(Ω), P(X=k) (la probabilité que X prenne la valeur k pour chaque réel) • C’est la « carte d’identité » de la variable aléatoire X • Quelle est la loi de X ? • X(Ω) = {-3,5} • P(X=5) = card(X=5) / card (Ω) = 3/6 • P(X=-3) = card(X=-3) / card (Ω) = 3/6 Espérance, variance, écart-type d’une VAR (1/3) • Ce sont des opérations qui prennent une VAR et qui donnent un REEL • L’espérance, c’est la moyenne (la valeur que l’on peut espérer obtenir) • Formule: E(X) = ∑k.P(X=k) • Propriété : l’espérance est linéaire, ie E(X+Y) = E(X) + E(Y) • Exemple: Espérance de X dans notre exemple? Espérance, variance, écart-type d’une VAR (2/3) • La variance et l’écart type donnent une information sur la dispersion des valeurs de la VAR autour de la variance • Schéma de notre exemple: Espérance, variance, écart-type d’une VAR (3/3) • Formule: V(X) = E([X-E(X)]²) • Formule: σ(X) =√V(X) • Formule de Koenig-Huygens: V(X) = E(X²) –E(X)² • Exemple: Variance et écart-type de X dans notre exemple? Exercice: donne la nature de l’élément • Tu as 10 secondes à chaque fois pour donner la nature de l’ élément qui s’affiche ! Prends une feuille pour noter à chaque fois que tu as bon.

Les éléments gardent le même nom. • P(A) • [X=5] •A Exercice: donne la nature de l’élément • Tu as 10 secondes à chaque fois pour donner la nature de l’ élément qui s’affiche ! Prends une feuille pour noter à chaque fois que tu as bon.

Les éléments gardent le même nom. • {5} •5 •X Exercice: donne la nature de l’élément • Tu as 10 secondes à chaque fois pour donner la nature de l’ élément qui s’affiche ! Prends une feuille pour noter à chaque fois que tu as bon..... »