Primitives

« 2025 – 2026 TG spé maths II.

Equations différentielles 𝒚’ = 𝒇 et notion de primitive 1.

Primitive d’une fonction Définition : Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle I et soit l’équation différentielle 𝑦 ′ = 𝑓 Toute fonction solution de l’équation différentielle 𝑦 ′ = 𝑓 est appelée une primitive de 𝑓 sur I. Ainsi une primitive de 𝑓 sur I est une fonction, notée F, dérivable sur I dont la dérivée est égale à 𝑓. Ainsi F est une primitive de 𝑓 sur I ⟺ 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 de I Remarque : la recherche d’une primitive est l’opération réciproque de la dérivation. Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I Exemple 1 : Soit l’équation différentielle 𝑦 ′ = 3𝑥 2 Elle est de la forme 𝑦 ′ = 𝑓 avec 𝑓(𝑥) = 3𝑥² Alors une solution de l’équation différentielle 𝑦 ′ = 3𝑥 2 𝑒𝑠𝑡 la fonction F définie par 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 Alors une primitive de 𝑓 sur IR est 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 Exemple 2 : Soit la fonction 𝑓 définie sur ]0; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 Montrer que la fonction F définie par 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 est une primitive de 𝑓 sur ]0; +∞[ 1 𝐹 ′ (𝑥) = 1 × 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 × − 1 = 𝑙𝑛𝑥 + 1 − 1 = 𝑙𝑛𝑥 = 𝑓(𝑥) donc F est une primitive de f sur ]0; +∞[ 𝑥 Méthode : pour montrer que F est une primitive de 𝒇 sur I, on calcule F’ et on montre que F’ = 𝒇 2.

Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle Exemple : soit 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 alors les fonctions 𝐹1 (𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 , 𝐹2 (𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 6 et 𝐹3 (𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 − 18, ou toute autre fonction de la forme 𝐹(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 𝑘 sont des primitives de 𝑓 sur IR, sont des solutions de l’équation différentielle 𝑦 ′ = 2𝑥 − 4 Propriété : Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle I et soient 𝑥0 𝑒𝑡 𝑦0 deux réels avec 𝑥0 dans I • si F est une primitive de 𝑓 sur I alors toutes les primitives de 𝑓 sont de la forme 𝑥 → 𝐹(𝑥) + 𝑘 avec k réel • Il existe une unique primitive G de 𝑓 sur I qui prend la valeur 𝑦0 𝑒𝑛 𝑥0 , c’est-à-dire telle que 𝐺(𝑥0 ) = 𝑦0 Démonstration au programme du premier point : • soit 𝑓 admettant une primitive F sur I.... »