pi - mathématiques.

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pi - mathématiques.
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PRÉSENTATION

pi (mathématiques), nombre réel correspondant au rapport de la circonférence du cercle à la longueur de son diamètre. Dans la pratique courante, on utilise généralement la valeur approchée par défaut de p égale à 3,14.

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OUTIL DE GÉOMÉTRIE ET D'ANALYSE

Le nombre p résume une histoire des mathématiques vieille de 3 000 ans, recouvrant aussi bien la géométrie que l'analyse ou l'algèbre. Les mathématiciens s'y intéressent dès l'Antiquité, et en particulier les Grecs, dans des problèmes de géométrie.
En considérant des polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle, Archimède en a déterminé une valeur assez précise, l'estimant compris entre 3 + 10/71 et 3 + 10/70. Il faut attendre la naissance du calcul infinitésimal, dans la seconde
moitié du XVIIe siècle, pour que le nombre p intervienne dans l'étude des séries. Ainsi, Leibniz découvre la formule :

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TRANSCENDANCE ET IRRATIONALITÉ

À partir du XVIIIe siècle, on étudie activement les caractéristiques du nombre p. En 1766, le Français Adrien Marie Legendre démontre l'irrationalité de p, à savoir qu'il ne peut s'écrire sous la forme d'une fraction du type p/q, avec p et q entiers. Puis
en 1882, l'Allemand Lindemann établit sa transcendance, c'est-à-dire que p n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers (voir Nombres). Ce résultat permet de démontrer l'impossibilité de la quadrature du cercle, problème qui avait occupé les
mathématiciens pendant plus de 2 000 ans, et consistant à construire, à l'aide d'une règle et d'un compas, un carré dont l'aire soit égale à celle d'un cercle donné.

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RECHERCHES ACTUELLES

Aujourd'hui, on constate que le nombre p intervient dans presque tous les domaines des mathématiques (trigonométrie, nombres complexes, exponentielles, statistiques, etc.), mais également en physique, en astronomie, etc. Bien que l'on puisse
maintenant calculer des millions de décimales de p à l'aide de supercalculateurs et d'algorithmes puissants ou de suites très rapidement convergentes, les recherches sur ce nombre ne sont pas closes : par exemple, on ne sait pas si les décimales de p
sont aléatoires.
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