Monty hall

« https://www.youtube.com/watch?v=txnSmsnH-rI Transcript: (00:02) [Musique] bonjour tout le monde aujourd'hui j'ai envie de vous parler d'un paradoxe en mathématiqu qu'est-ce qu'un paradoxe un paradoxe est une conclusion absurde déduite d'un raisonnement apparemment valide donc le paradoxe dont je vais vous parler aujourd'hui c'est le paradoxe des enveloppes en fin de vidéo bah je vous donnerai différents autres exemple de paradoxe sur lesquels bah vous pouvez vous renseigner ou travailler si le sujet vous intéresse le paradoxe dont je vais vous parler aujourd'hui a été conçu par le (00:39) mathématicien allemand Edmund lond à qui on doit la notation Petito que vous retrouvez par exemple dans les formules de Taylor Jung quand vous êtes à la fac en première année voilà la situation vous êtes le regagnant d'un jeu télévisé et à l'issue du jeu vous avez le choix entre deux enveloppes l'enveloppe numéroté 1 et l'enveloppe numéroté 2 chaque enveloppe est fermée et chacune contient un chèque que vous pourrez conserver à l'issue du jeu on vous dit également que le montant de l'un des deux chèque est le double du montant de (01:11) l'autre chèque par exemple on peut avoir un chèque d'une valeur de 50 € dans l'enveloppe 1 et un chèque d'une valeur de 100 € dans l'enveloppe 2 par exemple on peut avoir aussi 200 € dans l'enveloppe 1 et 100 € dans l'enveloppe 2 le choix est arbitraire mais vous vous lancez et vous choisissez donc l'enveloppe numéro 1 le présentateur vous regarde et vous pose la question suivante est-ce que vous êtes sûr de vouloir garder l'enveloppe 1 êtes-vous sûr de vous de ne pas vouloir changer et prendre l'enveloppe numéro 2 bien sûr (01:40) notre sens commun nous dit que il n'y a aucun avantage à changer d'enveloppe après tout il y a une chance sur deux pour que vous ayez choisi l'enveloppe avec le plus gros montant alors pourquoi se torturer davantage allez je vais ouvrir l'enveloppe 1 pour vous pour savoir combien est-ce que vous auriez gagné vous auriez gagné 100 €. (02:00) le présentateur vous regarde et vous repose la question et maintenant estce que vous voulez changer d'enveloppe allons essayons de raisonner un petit peu l'enveloppe 1 contient un chèque de 100 €.

c'est donc que l'enveloppe 2 contient un chèque de 50 € ou bien un chèque de 200 € je peux donc soit perdre 50 € ou alors gagner 100 €. (02:25) notons X la variable aléatoire égale au gain que je peux espérer obtenir en changeant d'enveloppe calculons l'espérance de X de manière à connaître la valeur de ce gain moyen donc on se dit que la probabilité pour que grand X soit égal à 50 est égal à 1/2 et la probabilité pour que grand X soit égal à 200 est égale à 1/2 c'est donc que l'espérance c'est 1/2 x 50 + 1/2 x 200 25 + 100 = 125 cela signifie que l'on peut compter sur un gain de 25 € en changeant d'enveloppe ce qui est contraire à notre sens commun donc ça signifie que j'ai tout intérêt à changer d'enveloppe ce (03:02) qui est absurde j'aurais pu faire le choix de l'enveloppe 2 au début et avoir exactement le même raisonnement et j'aurais eu la même conclusion c'est-àdire qu'il faut changer d'enveloppe et opter pour l'enveloppe 1 alors que là je viens de choisir l'enveloppe 1 et ma conclusion c'est changer d'enveloppe pour avoir l'enveloppe 2 qu'est-ce qui cloche d'ailleurs quel que soit l'enveloppe que je choisisse si j'ai X € dans mon enveloppe c'est que dans l'autre enveloppe j'ai 2x ou X sur 2 € calculons l'espérance de queon peut espérer en (03:31) changeant d'enveloppe on a 1/2 x 2x + 1/2 x x/ 2 on obtient bien 1,25x ça signifie que quel que soit le choix qu'on fait au début on a toujours intérêt à changer d'enveloppe c'est là que réside le paradoxe notre sens commun nous dit que cela fait aucune différence de changer d'enveloppe et notre raisonnement nous dit que ça en fait une bon essayons de on autrement une des enveloppes contient X € et l'autre enveloppe contient 2x €. (04:04) notons X1 la variable aléatoire égale au montant du chèque qui est contenu dans l'enveloppe numéro 1 bien sûr la probabilité que X1 soit égal à X est égal à 1/2 et.... »