matrice.

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matrice. n.f.
1. TECHNIQUE :
pièce de référence, en fonte ou en acier dur. Cette pièce porte un motif en creux ou en
relief. On en obtient des contretypes par déformation plastique de pièces brutes que l'on
presse ou que l'on frappe fortement contre la pièce de référence. Ce nom s'applique en
particulier aux pièces originales gravées à partir desquelles on frappe la monnaie métallique,
ainsi qu'aux disques de pressage métallisés à partir desquels on élabore les disques
d'enregistrement sonore à sillon.
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Les corrélats
estampage
matriçage

2. MATHÉMATIQUES :
tableau de nombres, généralisant la notion de coordonnées d'un vecteur et dont les
interprétations et les transformations sont étudiées dans le cadre de l'algèbre linéaire. Une
matrice M est donc une suite doublement indicée de nombres

que l'on peut écrire, si on le souhaite, dans un tableau de n lignes et p colonnes :

Une matrice à n lignes et p colonnes est donc un élément de unp. Les matrices à 1 ligne ou
à 1 colonne ne sont autres que des vecteurs :

Les matrices « carrées » à n lignes et n colonnes sont dites « d'ordre n » : ce sont des
éléments de un2 ; les plus simples sont d'ordre 2, et nous serviront d'exemples
élémentaires :

Le calcul matriciel.
C'est un calcul sur les matrices, entre lesquelles on définit trois opérations
élémentaires :
- l'addition de deux matrices ayant même nombre de lignes et de colonnes :

(on a fait l'addition terme à terme de chaque élément des deux matrices) :

- la multiplication d'une matrice par un nombre :

(on a multiplié chaque terme de la matrice par ce nombre) :

- la multiplication d'une matrice à n lignes et p colonnes par une matrice à p lignes et
r colonnes :

(on a « couché » chaque colonne de la deuxième matrice sur chaque ligne de la
première en effectuant le produit scalaire des deux vecteurs correspondants, comme
ceci) :

On ne peut pas multiplier entre elles deux matrices quelconques ; cependant, on peut
multiplier entre elles des matrices carrées de même ordre. On peut aussi multiplier une
matrice à n lignes et p colonnes par une matrice à p lignes et 1 colonne (représentant
les coordonnées d'un vecteur de u2) : le résultat est une matrice à n lignes et
1 colonne (représentant les coordonnées d'un vecteur de un) :

Muni de l'addition et de la multiplication par un nombre, l'ensemble des matrices à n
lignes et p colonnes (souvent noté mn,p) a une structure d'espace vectoriel, d'ailleurs
isomorphe à unp.
Et, muni en plus de la multiplication, l'ensemble des matrices carrées d'ordre n a une
structure d'anneau (non commutatif), et donc une structure d'algèbre (voir ces mots).

Applications linéaires et matrices.
On sait comment il est possible d'associer une suite de nombres à tout vecteur
lorsqu'une base a été choisie dans un espace (voir coordonnées). De la même
manière, lorsque des bases ont été choisies dans deux espaces E et F, il est possible
d'associer une matrice à toute application linéaire de E dans F.
Précisément, soit (e1, e2, ..., en) une base de E et (f 1, f2, ..., fp) une base de F, et
soit % une application linéaire de E dans F. L'application % est entièrement caractérisée
par la donnée, dans F, des n vecteurs transformés des vecteurs de base de E : %(e1),
%(e2), ..., %(en) ; en effet, tout vecteur V = x1e1 + x2e2 +...+ xnen de E est tel que
%(V) = x1 %(e1) + x2 %(e2) + ...+ xn %(en) et %(V) est donc bien connu à partir des
coordonnées de V si l'on se donne la liste %(e1), %(e2), ..., %(en). La matrice dont les p
colonnes sont les coordonnées des %(ei) dans la base de F caractérise donc % ; cette
matrice % est appelée « matrice de l'application linéaire % par rapport aux bases (ei)i = 1,
...n et (f j ) j = 1, ...p ».
Les p composantes de %(V) sont alors les éléments de la matrice colonne

En appelant X la colonne des n coordonnées de V et Y la colonne des p coordonnées de
%(V), on a donc : Y = f .X
On retrouve alors la notation multiplicative très simple de la linéarité ; de plus, si %
est composée avec une autre application %' de F dans G de matrice f ', la multiplication
des matrices est définie de telle façon que la matrice de l'application %' 4 % est la matrice
f' · f.
Une des grandes idées, pour étudier une application, consiste à choisir, dans les
espaces considérés, des bases qui rendent la matrice de l'application le plus simple
possible ; c'est le problème de la diagonalisation (voir ce mot).
Finalement, le calcul matriciel ramène le calcul sur des applications au calcul sur des
nombres, grâce à des notations très synthétiques et bien adaptées à la manipulation de
suites et de tableaux.

Systèmes linéaires d'équations et matrices.
Une équation linéaire se présente sous la forme %(x) = b où % est une application
linéaire d'un espace vectoriel E (dans lequel on recherche un vecteur inconnu x) dans un
espace vectoriel F (où l'image du vecteur inconnu est un vecteur b donné).
Matriciellement, on doit trouver une colonne X telle que f X = B. L'expression développée
de cette équation, en termes de coordonnées, se présente sous la forme d'un
« système » d'équations dit linéaire et que l'on sait résoudre depuis Cramer :

La technique de résolution d'un tel système est donnée à l'article système
d'équations linéaires.
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