MATHS : PARADOXE DES ANNIVERSAIRES

« MATHS : PARADOXE DES ANNIVERSAIRESINTRO :Avant toute chose, je vais rappeler ce qu’est une probabilité :Le terme probabilité possède plusieurs sens, il désigne l'opposé du concept decertude ; il est également une évaluaon du caractère probable d’unévènement, c'est-àdire qu'une valeur permet de représenter son degré decer tude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathémaqueet est appelée «théorie des probabilités » ou plus simplement « probabilités ».La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1.

Plus cenombre est grand, plus la chance, que l'événement se produise est grand.

Si laprobabilité d’un évènement est égale à 0, il y a 0% de chance que cetévènement se produise et si la probabilité d’un évènement est égale à 1, il y a100% de chance que cet évènement se produise.La somme d’un évènement X et de son évènement contraire doit être égale à1.Ainsi, posons-nous la queson suivante : Comment expliquer que sur ungroupe de 23 personnes il y a au moins 1 chance sur 2 que 2 personnes soit néele même jour ?Ce e queson est rée du paradoxe des anniversaires.

Ce paradoxe est àl’origine une esmaon probabiliste du nombre de personne que l’on doitréunir dans un groupe pour avoir 50% de chance que 2 personnes de ce groupeaient leur anniversaire le même jour. Dans ce groupe on parle de personne quipartage le même jour et mois de naissance mais pas forcément la même annéeContre toute aente, il se trouve que ce nombre est 23.

On dit même qu’àparr d’un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99%Cependant il ne s’agit pas d’un paradoxe dans le sens de contradic on logique ;c'est un paradoxe, dans le sens où c'est une vérité mathéma que qui contreditl'intui on : la plupart des gens esment que cee probabilité est très inférieureà 50 %.PARTIE 1 : Défnir et expliquer les noons :  actorielle, évènements, arbrepondéré… PARTIE 2 : Illustrer avec un exemplePARTIE 3 : Démonstra on et explica on du paradoxeEXPLICATION ET DEFINITION DES NOTIONS :Avant toute chose, je vais vous expliquer quelques noons clés sur lesprobabilités an que vous compreniez au mieux la résoluon du paradoxe :Factorielle d’un nombre : on appelle factorielle d’un nombrenle produit detous les nombres de 1 àn,il se note n! et il se lit « factorielle n »Exemple :3! = 1x2x3 = 6 Evènement : dans le cadre des probabilités, un événement lié à uneexpérience aléatoire est un sous-ensemble des résultats possibles pource e expérience.Exemple :Lors d’une lancée de pièce on note X l’évènement « obtenir pile »et on appelle Xbar l’évènement contraire de X, en l’occurrence ici « obtenirface ».EXEMPLE POUR ILLUSTRER LES PROBABILITES :An de mieux comprendre comment faire la probabilité d’un évènementdonnée, je vais vous l’expliquer à l’aide d’un exemple précis :On considère l’expérience suivante :Une urne conent 3 boules blanches et 2 boules rouges.

On re au hasard uneboule et on la remet dans l’urne.Qu’elle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ? Et qu’elle est laprobabilité d’obtenir une boule rouge ?Il faut d’abord se représenter l’ensemble et les sous-ensembles de ce eexpérience :L’ensemble désigne tous les éléments d’une expérience, ici c’est toutes lesboules, donc l’ensemble est égal à 5Un sous-ensemble désigne une pare de l’ensemble de l’expérience, ici on a 2sous-ensembles : les 3 boules blanches et les 2 boules rouges.Ainsi pour pouvoir trouver une probabilité on fait le calcul suivant : sous-ensemble/ensemble.Dans notre exemple, la probabilité de ré une boule blanche est égale à 3/5,qui nous donne 0,6.La probabilité de ré une boule rouge est égale à 2/5, qui nous donne 0,4. Comme je vous l’ai dit en introducon la somme d’un évènement X et de sonévènement contraire doit être égale à 1, ce qui équivaut en probabilité à 100%.Dans notre exemple la somme des 2 probabilités : 0,6 + 0,4 est égale à 1, doncnotre probabilité est vériée.RESOLUTION DU PARADOXE :A présent nous avons tous les éléments nécessaires pour résoudre le paradoxe.Avant de commencer à expliquer le calcul, je vais simplier le modèle qui vanous perme re de résoudre notre problème : au lieu de prendre en compte lesvariaons saisonnières de natalité, on considère que tous les jours de l’annéeont la même natalité.

Deuxièmement, on va considérer que toutes les annéespossède 365 jours, qu’il.... »