L'infini, un outil mathématique

« INTRO : L’infini.

On peut le définir par quelque chose qui est d'une grandeur, d'une intensité si importante qu'on ne peut la mesurer.

C’est une notion philosophique, mais surtout un outil mathématique.

En effet, la première fois qu’il a été question de l’infini en maths était au 5e siècle avant JC, lorsque Zénon d'Élée, montra qu'un segment de droite pouvait être divisé à l'infini.

Pour la première fois, l’infini était lié aux mathématiques. Toutefois, il a fallu attendre Leibniz et ses recherches sur le calcul infinitésimal durant le 18e pour que l'infini se dégage de sa dimension métaphysique et devienne un outil purement mathématique. Mais c'est avec Cantor, fin du 19e, que ce mouvement s'acheva.

Qualifiant de transfinis les nombres compris entre 0 et 1, approfondissant les définitions des ensembles infinis, il rendit définitivement opératoire l'infini et signait l'acte de naissance des mathématiques modernes.

En effet, il démontra l’existence d’une infinité de réels entre 0 et 1, et fut à l’origine de la théorie des ensembles, faisant de l’infini un possible objet d’investigation et non plus qu’une simple limite inatteignable. Ainsi, nous venons de voir que l’infini, grâce aux différents travaux cités, est devenu un réel outil.

Mais l’on peut donc se demander : « quel est l’impact de l’utilisation de cet outil sur les mathématiques d’aujourd’hui ? » Nous développerons une réponse à cette question en deux points : tout d’abord, les différentes applications du concept de l’infini en mathématiques littérales, puis un domaine géométrique ou l’infini à son rôle à jouer. 1 – CALCUL LITTERAL : En mathématiques, l’infini est utilisé dans de nombreuses situations. Une des plus courantes, par exemple, n’est autre que l’étude de limites. En effet, l’infini étant par définition, quelque chose sans limite, une fonction ou une suite dont on ne peut quantifier une limite à cause du fait que sa valeur soit trop élevée sera dite comme tendant vers l’infini.

L’infini pouvant par ailleurs être une valeur extrêmement grande, qu’elle soit positive ou négative.

Par exemple, la fonction f(x)=3x va tendre vers +infini, et la fonction g(x)=-3x va tendre vers -infini.

On a donc ici deux infinis. On a donc dit que ces deux fonctions tendaient en un infini, mais normalement, on étudie une limite en une valeur x donnée.

Par exemple, si on étudie la limite de la fonction j(x)=2/1-x lorsque x tend vers 1-, le dénominateur tendant vers O+, la fonction j(x) tend vers +infini en x tend vers 1.

Dans ce cas, on dit que la suite ou fonction tend vers l’infini en une valeur x donnée.

Mais cette valeur x peut elle-même être l’infini, positif ou négatif.

Par exemple, les premiers cas que l’on a étudié à savoir f(x)=3x et g(x)=-3x tendent vers un infini, peu importe son signe, en x tend vers +infini.

Ainsi, l’infini peut être une limite mais aussi la valeur de x pour laquelle on étudie cette limite. Par ailleurs, lorsque l’infini est impliqué dans l’étude des limites, dans n’importe laquelle des deux situations précédemment exposées, il est possible de réaliser un développement asymptotique.

En effet, si une fonction tend vers un infini en un x, il existera une asymptote verticale en ce x.

C’est par exemple le cas de la fonction j(x)=2/1-x que nous avons précédemment étudié.

En effet, étant donné qu’elle tend vers +infini en x= 1-, il existe une asymptote verticale en x=1.

Par ailleurs, en x=1+, j(x) tendra vers -infini, de l’autre côté de l’asymptote.

Une asymptote horizontale d’équation y, quant à elle, ne peut exister seulement en un x tendant vers l’infini. Une autre situation dans laquelle l’infini est utilisé est l’étude d’intervalles. En effet, un exemple d’intervalle peut être [2 ;4], inclus ou exclus, mais en tout cas ici, nous avons un intervalle fini, ou du moins si x est étudié dans le domaine des entiers naturels.

Car ici, même s’il semble évident que le nombre de valeurs inclues dans cet intervalle soit fini, cela dépend en réalité du domaine d’étude de x.

Car si x est étudié dans le domaine des réels, il en existe en fait une infinité.

Mais revenons à notre exemple, où x appartient à N.

Dans ce cas, l’intervalle [2 ;4] est fini.

Cependant, si l’on veut que cet intervalle contienne tous les entiers strictement supérieurs à 2, par exemple, l’intervalle sera infini, car il existe un nombre infini de ces entiers.

Donc, on notera cet intervalle, ]2 ; +infini [, l’infini étant systématiquement exclu car n’étant pas une réelle valeur, il est impossible de le contenir dans un intervalle.

A l’inverse, si l’on veut toutes les valeurs de x strictement inférieurs à 2, x appartenant à Z, on aura l’intervalle ] -infini ; 2 [ . Ces intervalles peuvent être notamment utilisés pour définir l’ensemble des solutions d’une équation.

Par exemple, si l’on se.... »