limite

« Propriété : lim et lim 0 x x x xe e ®+¥ ® -¥ = +¥ = Démonstrations : · On démontre que, pour tout réel x, on a : 2 2 x x e x ³ + .

Pour cela, on introduit la fonction f définie sur R par ( ) 2 2 x x f x e x   = - +     et on admet avoir démontré auparavant, que la courbe représentant la fonction exponentielle est toujours au- dessus de la tangente à cette courbe au point d’abs cisse 0..

On étudie le sens de variation de f, puis on dresse son tableau de variation.

Enfin, on s’aperçoit que 0 est le minimum de f sur R.

Donc, pour tout réel x strictement positif, 1 2 xe x x ³ + , Comme lim 1 2x x ®+¥   + = +¥     , alors lim x xe x ®+¥ = +¥ .

· Pour tout nombre réel x, 1 x x x x x x xe e e e x - - - - = = - = - - .

Or ( ) limx x ®-¥ - = +¥ et lim X Xe X ®+¥ = +¥ .

En appliquant le théorème sur la limite d’une fonct ion composée, on obtient : lim x x e x- ®-¥ = +¥ - .

Alors, 1 lim 0 x x e x- ®-¥ = - , et par suite, lim 0 x x xe ®-¥ = .. »