leçon de spé mathématiques: Terminale G Sommes de variables aléatoires

« Terminale G Sommes de variables aléatoires Sommes de variables aléatoires 1 Loi de probabilité d’une somme de variables aléatoires 1.1 Rappels D ÉFINITION On appelle variable aléatoire toute fonction X définie sur Ω et à valeurs dans R, qui à tout élément de Ω fait correspondre un réel k. Exemple : on lance un dé équilibré à 6 faces. On gagne 5e si on obtient un 6, on ne gagne rien si on obtient un nombre impair et on perd 3e si on obtient 2 ou 4. On peut considérer la variable aléatoire X qui décrit le gain algébrique (positif si on gagne et négatif si on perd) à ce jeu. • L’ensemble des valeurs possibles pour cette variable aléatoire est {−3 ; 0 ; 5}. • (X = 0) est l’événement {1; 3; 5}. D ÉFINITION Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers Ω d’une expérience aléatoire. On note X (Ω) = {x 1 ; x 2 .

.

.

x n } l’ensemble des valeurs prises par X . Définir la loi de probabilité de X , c’est donner les valeurs de P (X = x i ) pour tous les i . Exemple : dans l’exemple précédent, • P (X = −3) = P ({2; 4}) = 2 1 = 6 3 • P (X = 0) = P ({1; 3; 5}) = 3 1 = 6 2 • P (X = 5) = P ({6}) = 1 6 On peut représenter cette loi dans le tableau suivant : −3 1 P (X = x i ) 3 Remarque : la somme des probabilités vaut toujours 1. xi 0 1 2 5 1 6 1.2 Somme de deux variables aléatoires D ÉFINITION Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers Ω et k un nombre réel. On peut définir une variable aléatoire Y telle que, pour tout élément ω ∈ Ω, Y (ω) = k × X (ω).

On note Y = kX . 1 Terminale G Sommes de variables aléatoires Exemple : dans l’exemple précédent, on décide de doubler les gains (et les pertes).

On note Y la variable correspondant au gain algébrique désormais obtenu. Ainsi, on gagne désormais 10e si on obtient un 6, on ne gagne toujours rien si on obtient un nombre impair et on perd 6e si on obtient 2 ou 4. La loi de la variable aléatoire Y est donc : −6 0 10 1 1 1 P (Y = y i ) 3 2 6 Remarque : seules les valeurs possibles de la variable aléatoire ont changé, pas les probabilités ! yi D ÉFINITION Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur l’univers Ω. On peut définir une variable aléatoire Z sur Ω telle que, pour tout élément ω ∈ Ω, Z (ω) = X (ω) + Y (ω). Cette variable aléatoire Z est appelée somme des variables aléatoires X et Y .

On note Z = X + Y . Exemple : on joue 2 fois de suite au jeu défini dans le premier exemple. On note Z la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu à l’issue des deux lancers. Afin de déterminer la loi de probabilité de Z , on va décomposer Z comme la somme de X 1 , la variable aléatoire correspondant au premier lancer de dé et X 2 , celle correspondant au deuxième lancer de dé. On a les lois de probabilité suivantes : Loi de probabilité de X 1 Loi de probabilité de X 2 −3 1 P (X 1 = x i ) 3 −3 1 P (X 2 = x i ) 3 xi 0 1 2 5 1 6 xi 0 1 2 5 1 6 Afin de déterminer la loi de probabilité de Z = X 1 + X 2 , on va d’abord déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour Z . Pour cela, on peut s’aider du tableau à double entrée suivant : XXX XXX Gain 2 Gain 1 XXX -3 0 5 XXX -3 0 5 -6 -3 2 -3 0 5 2 5 10 Interprétation (cases grisées) : si on gagne 5e au premier lancer et 0e au second, on gagne 5e au total. Ainsi, l’ensemble des valeurs possible pour Z est {−6; −3; 0; 2; 5; 10}. On va maintenant déterminer les probabilités d’obtenir chacune de ces valeurs : • Il n’y a qu’une seule manière d’obtenir (Z = −6) (perdre 6e en deux coups), c’est d’avoir (X 1 = −3) et (X 2 = −3) (c’est à dire perdre 3e au premier coup puis perdre 3e au second coup). On a donc P (Z = −6) = P ((X 1 = −3) ∩ (X 2 = −3)). Comme les variables X 1 et X 2 sont indépendantes, la probabilité de cette intersection est : 1 1 1 P (Z = −6) = P (X 1 = −3) × P (X 2 = −3) = × = . 3 3 9 2 Terminale G Sommes de variables aléatoires • Il n’y a deux manières d’obtenir (Z = −3) (perdre 3e en deux coups), c’est d’avoir (X 1 = −3) et (X 2 = 0) (c’est à dire perdre 3e au premier coup puis ne rien gagner au second coup) ou (X 1 = 0) et (X 2 = −3) (c’est à dire ne rien gagner au premier coup puis perdre 3e au second coup). On a donc P (Z = −3) = P ((X 1 = −3) ∩ (X 2 = 0)) + P ((X 1 = 0) ∩ (X 2 = −3)). Comme les variables X 1 et X 2 sont indépendantes, on a : P (Z = −3) = P (X 1 = −3) × P (X 2 = 0) + P (X 1 = 0) × P (X 2 = −3) = 1 1 1 1 1 × + × = . 3 2 2 3 3 • De même : P (Z = 0) = P (X 1 = 0) × P (X 2 = 0) = 1 1 1 × = 2 2 4 • P (Z = 2) = P (X 1 = 5) ×.... »