La fonction exponentielle : propriétés algébriques (2)

« "'La fonction exponentielle · propriétés algébriques L'essentiel du cours Propriétés • Pou r tous les nombres réels x ety, on a : e' x eY = e••Y (rela­ tion fonction nelle).

X • Pour tous les nombres rée ls x et y, on a : .:.._ = e•-y.

eY • Pour tout nombre réel x, on a 2.

= e-x e' X • Pour tou t nombre réel x, on a: e2 = N .

• Pour tout nombre réel x et pour tou t entie r n, on a: (e'f=en x_ -2X+ 3 -2x 3 ( -x )2 3 1 3 e Exemples ( )2 3 • e =e x e = e x e = - xe =-- e' (e' )2 e e -3ln(2) = eln(2- 3) = 2 -3 = 2_ = ~ 23 8 Dérivée de la fonction e" Soit u une fonct ion dér ivable sur un inte rvalle 1, alors pour tout réel x E 1, on a : (e")'=u'e ".

Exemple La dérivée de la fonction/ défin ie sur IR par f(x) = e-Jx+i est la fonct ion!' défin ie sur !R par f'(x) =-3e- 3x•1.

Équotion et inéquat ion avec la fonction exponentie lle Soit a et b deux nombres réels : -e• = eb si et seule ment si a = b ; -e• < eb si et seu lement si a< b (l'équ ivalence est vraie si les inégalités ne son t pas strictes) ; -e• > eb si et seu lement si a> b (l'éq uivalence est vraie si les inégalités ne sont pas strictes) ; -si, de plus, b E Il( : e• = b si et seu lemen t si a= lnb.

Exemple e-2"3= 4 =e -2••3= e1"4 = -2x + 3 = ln4 = 2x = 3-ln4 =x = 3-ln4.

2 - - - -- __j. »