Intégrale d’une fonction continue et positive

« Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Cours de terminale S Calcul intégral 17 janvier 2020 V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Définition Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur [a; b] et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; I, J). L’unité d’aire est l’aire du rectangle de côtés [OI] et [OJ]. On appelle intégrale de f sur [a; b], .

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Définition Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur [a; b] et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; I, J). L’unité d’aire est l’aire du rectangle de côtés [OI] et [OJ]. On appelle intégrale de f sur [a; b], l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface limitée par l’axe des abscisses, la courbe C, et les droites d’équations x = a et x = b. V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités V.

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B. Définition Remarque Théorème Démonstration Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Z L’intégrale de f sur [a; b] se note b f (x)dx . a V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Z L’intégrale de f sur [a; b] se note b f (x)dx . a Z entre a et b. b f (x)dx représente l’aire sous la courbe On dit aussi que a V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration b Z Dans l’écriture f (x)dx, x est une lettre " muette ".

On peut la a remplacer par n’importe qu’elle autre lettre, exceptées a et b : Z b Z f (x)dx = a b Z f (t)dt = a b Z f (u)du = a V.

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B. b Z f (z)dz = a Diaporama du cours b f (α)dα = .

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. a Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration b Z Dans l’écriture f (x)dx, x est une lettre " muette ".

On peut la a remplacer par n’importe qu’elle autre lettre, exceptées a et b : Z b Z f (x)dx = a Z b Z f (t)dt = a b Z f (u)du = a b Z f (z)dz = a b f (x)dx se lit aussi " somme de a à b de f (x)dx ". a V.

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B. Diaporama du cours b f (α)dα = .

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. a Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Théorème Soit f une fonction continue et Z positive sur [a; b] ; la fonction F x définie sur [a; b] par F (x) = f (t)dt .

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Théorème Soit f une fonction continue et Z positive sur [a; b] ; la fonction F x définie sur [a; b] par F (x) = f (t)dt est dérivable sur [a; b] a et F 0 (x) = f (x) pour tout x de [a; b]. De plus F (a) = 0. V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Théorème Soit f une fonction continue et Z positive sur [a; b] ; la fonction F x définie sur [a; b] par F (x) = f (t)dt est dérivable sur [a; b] a et F 0 (x) = f (x) pour tout x de [a; b]. De plus F (a) = 0. V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Démonstration dans le cas où f est croissante Pour tout x ∈ [a; b] et h > 0, .

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Démonstration dans le cas où f est croissante Z x Pour tout x ∈ [a; b] et h > 0, F (x) = f (t)dt et a Z x+h F (x + h) = f (t)dt. a V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Démonstration dans le cas où f est croissante Z x Pour tout x ∈ [a; b] et h > 0, F (x) = f (t)dt et a Z x+h F (x + h) = f (t)dt. a Ainsi F (x + h) − F (x) est .

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Démonstration dans le cas où f est croissante Z x f (t)dt et Pour tout x ∈ [a; b] et h > 0, F (x) = a Z x+h F (x + h) = f (t)dt. a Ainsi F (x + h) − F (x) est l’aire de la surface limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites verticales passant par les points d’abscisses x et x + h. V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration Démonstration dans le cas où f est croissante Z x f (t)dt et Pour tout x ∈ [a; b] et h > 0, F (x) = a Z x+h F (x + h) = f (t)dt. a Ainsi F (x + h) − F (x) est l’aire de la surface limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites verticales passant par les points d’abscisses x et x + h. V.

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités V.

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B. Définition Remarque Théorème Démonstration Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration On a donc .

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B. Diaporama du cours Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités Définition Remarque Théorème Démonstration On a donc hf (x) ≤ F (x + h) − F (x) ≤ hf (x + h), ce qui, dans le cas où f est croissante, entraîne que F (x + h) − F (x) ≤ f (x + h). f (x) ≤ h.... »