Intégrale d'une fonction sur un intervalle

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Intégrale d'une fonction sur un intervalle L'essentiel du cours Définition • Une intég rale, lorsqu 'elle existe, est une valeur rée lle.

• Si une fonction f est continue sur un intervalle [a; b].

alors elle admet une primitive F telle que F'(x) = f(x).

On a alors : Jb f(x)dx = [F(x) J = F(b) -F(a).

a a Exemples • f,\xdx =[x2J:=2 2-12=4-1=3 .

• fc1 3e3' dx = [ e3x J: = el -e0 = el -1 car une primitive de la fonction x - 3e3' est la fonct ion x - e3x_ • f \ix dx = [~e 2•] 1 = ~ -e° = e2 -1 car une primitive de la fonction x - eix 0 2 0 2 2 2 est la fonct ion x - ~eu.

2 Propriétés Relation de Chasles Soit/ une fonction continue sur un interva lle I et (a, b, c) e P.

On a : r f(x)dx + I: f(x)dx = I: f(x)dx .

Linéarité de l'intégra le Soitf et g deux fonctions cont inues sur un intervalle 1, (a, b) e 12 et le réel k.

On a: -r(f(x) + g(x))dx = r f(x)dx + r g(x)dx ; -S: kf(x)dx = k S: f(x)dx.

Positivité de l'intégrale • Soitf une fonct ion cont inue sur un intervalle I et (a, b) e 12.

Si pour tout réel x appartenant à l'intervalle [a; b) on af(x) > o, alorsf f(x)dx > o.

• En corollaire : pour g continue sur 1, si pour tout réel x appa rtenant à l'intervalle [a; b) on a/(x) > g(x), alors f f(x)dx > S: g(x)dx.. »