intégrale.

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intégrale. n.f. MATHÉMATIQUES : résultat du calcul d'une aire plane (appelée quadrature),
de la longueur d'une courbe (appelée rectification), de la position d'un centre de gravité, etc.
La notion d'intégrale s'est dégagée au cours du XVIIe siècle. Le principe du calcul consistait
alors à découper l'objet étudié en éléments infinitésimaux, dont on savait approcher la
mesure, puis à les ajouter (à les intégrer) pour reconstituer l'objet initial. En un sens
élémentaire, la théorie de l'intégration se réduit aujourd'hui au calcul des primitives.
Soit f une fonction numérique continue sur un intervalle fermé borné [a, b]. Alors f admet
des primitives, lesquelles diffèrent deux à deux par une constante. Il en résulte que la variation
F( b) - F(a) d'une primitive F de f ne dépend pas de la primitive considérée. La différence
F( b) - F(a) s'appelle intégrale de f de a à b et se note :

éf (t) dt.
Le symbole ò représente l'initiale du mot latin summa (« somme «), d'après le graphisme
employé aux XVIIe et XVIIIe siècles. La lettre d subsiste elle aussi pour des raisons historiques,
f (t) dt étant la « limite « d'un accroissement fini f(t) dt, éf(t) dt étant donc approché par une
somme finie S f (t) dt.
L'intégrale est une forme linéaire (voir ce mot) croissante. Autrement dit ;
et si f £ g,

.

Fonctions intégrales.
On peut étendre la notion d'intégrale à des fonctions non nécessairement continues.
Considérons par exemple une fonction en escalier, c'est-à-dire une fonction f prenant la
valeur M1 sur l'intervalle ]a, a1[, la valeur M2 sur l'intervalle ]a1, a2[,..., la valeur Mn sur
l'intervalle ]an - 1, b[, où a < a1 < a2 < ... < an - 1 nombre :(a1 - a)M 1 + (a2 - a1)M 2 + ... + (b - an - 1)M n.
Les propriétés de l'intégrale des fonctions continues et des fonctions en escalier se
prolongent à certaines fonctions, dites intégrables. Parmi celles-ci, citons les fonctions
monotones. Cependant, les classes des fonctions intégrables varient selon la définition
choisie pour l'intégrabilité. On distingue ainsi les fonctions intégrables au sens de Riemann,
au sens de Lebesgue, etc.

Intégrale impropre.
On peut aussi étendre la notion d'intégrale à des intervalles d'intégration infinis. Ainsi
òa +¥ f (t) dt est la limite, si elle existe, de é f (t) dt lorsque b tend vers l'infini. L'intégrale
impropre òa +¥ f (t) dt est alors dite convergente. Par exemple, l'intégrale impropre
est convergente et vaut 1 ; en revanche, l'intégrale impropre
en effet

est divergente ; on a

= lnx, et lnx tend vers l'infini quand x tend vers l'infini.

Calcul intégral.
Le calcul intégral consiste à calculer des valeurs d'intégrales particulières. Il se ramène
souvent au calcul des primitives et, en particulier, à des techniques permettant de se
ramener à un tableau des primitives usuelles. Deux méthodes fondamentales de calcul des
intégrales sont à signaler.

La première est l'intégration par parties. Soient f et g des fonctions continûment
dérivables sur [a, b]. Alors :

Le symbole

|f(t)g(t)| représente la variation de la fonction fg entre a et b, c'est-à-dire le nombre
f (b)g(b) - f(a)g(a). Cette méthode permet de calculer l'intrégale de fg' dès que l'on
connaît une primitive de f'g.
La seconde est le changement de variable. Soient f une fonction continue sur un
intervalle I, et f une fonction numérique continûment dérivable sur [a, b]. On suppose que
l'image de [a, b] par f est incluse dans I. Alors :

.

Cette formule permet de ramener le calcul d'une primitive de (f 4 f ) f ' à celui d'une
primitive de f.

Intégrale curviligne.
Soit V une fonction de deux variables à valeurs vectorielles. Au point M de coordonnées (x,
y), la fonction V associe le vecteur V(M) de composantes [f (x, y), g(x, y)]. Considérons
une courbe C représentée paramétriquement par x = f (t) et y = 7(t), où t varie dans un
intervalle [a, b]. On appelle intégrale curviligne, ou encore circulation, de V le long de C
l'intégrale :

Cette notion intervient dans la définition du travail d'une force.

Intégrale multiple.
On peut définir aussi les intégrales doubles, les intégrales triples, etc. Ces notions
interviennent dans le calcul des aires, des volumes, des masses, des moments d'inertie.
Par opposition, l'intégrale vue ci-dessus est dite simple.
Indiquons les notations pour une intégrale double. Soit f une fonction de deux variables
définie sur une partie P du plan. L'intégrale double de f sur P se note
òòP f f(x,y) dx dy.Lorsqu'on peut donner un sens à ce symbole, on dit que f est intégrable sur
P. Ce cas se présente en particulier lorsque P est un rectangle de la forme [a, b ]× [a', b']
et que f est continue.
Le calcul des intégrales doubles se ramène souvent à celui de deux intégrales simples
successives. De même, le calcul d'une intégrale triple peut se ramener à celui d'une
intégrale double et d'une intégrale simple.