GRAND ORAL Spécialité Mathématiques — Terminale Les limites des records sportifs sont-ils voués à converger vers une limite absolue, ou la progression humaine est-elle sans borne ?

« GRAND ORAL Spécialité Mathématiques — Terminale Les limites des records sportifs sont-ils voués à converger vers une limite absolue, ou la progression humaine est-elle sans borne ? Durée estimée : 9 à 11 minutes Introduction Nous sommes en 2009, à Berlin.

Usain Bolt franchit la ligne d'arrivée du 100 mètres en 9 secondes et 58 centièmes.

Seize ans plus tard, ce record tient toujours.

Alors on peut se poser une question simple, presque enfantine : est-ce qu'on pourra un jour courir encore plus vite ? Et si oui, jusqu'où ? Depuis plus d'un siècle, les records sportifs ne cessent d'être améliorés.

Mais si on observe attentivement les données, on remarque quelque chose d'intéressant : la progression ralentit.

Les records tombent de moins en moins souvent, et de moins en moins nettement.

Ce phénomène n'est pas qu'une impression — les mathématiques permettent de le modéliser et de l'expliquer rigoureusement. Cela nous amène à la problématique suivante : Les records sportifs sont-ils voués à converger vers une limite absolue, ou la progression humaine est-elle sans borne ? Pour y répondre, nous verrons d'abord comment modéliser les records comme une suite mathématique, puis nous proposerons un modèle quantitatif pour estimer cette limite, avant d'en discuter les failles et les nuances. Partie 1 — Les records comme une suite convergente La première façon d'aborder ce problème, c'est de regarder les records comme une suite mathématique. Grand Oral — Bac Maths — 1 / 4 Notons (un) la suite des records successifs sur une épreuve donnée — par exemple le 100 mètres.

Chaque terme un représente le nième record homologué, exprimé en secondes. Cette suite possède deux propriétés fondamentales : Elle est décroissante Par définition, un record est toujours strictement meilleur que le précédent.

Donc u n+1 < un pour tout n ∈ ℕ.

La suite est strictement décroissante. Elle est minorée Un être humain ne peut physiquement pas courir le 100m en moins de, disons, 5 secondes.

Il existe donc un réel m > 0 tel que u n > m pour tout n.

La suite est minorée. Conclusion — Le théorème des suites monotones bornées D'après le théorème fondamental des suites monotones bornées : toute suite décroissante et minorée converge vers une limite finie L ∈ ℝ.

Donc (u n) converge. Ce résultat est remarquable : sans même connaître la valeur de cette limite, les mathématiques nous garantissent son existence.

Les records sportifs ne peuvent pas décroître indéfiniment — ils convergent nécessairement vers un plancher. Si on représente graphiquement les records du 100 mètres depuis 1960, on observe exactement ce comportement : une courbe décroissante qui s'aplatit progressivement, comme une fonction qui s'approche d'une asymptote horizontale sans jamais la franchir. Partie 2 — Estimer la limite : le modèle exponentiel Savoir qu'une limite existe, c'est bien.

Pouvoir l'estimer, c'est mieux.

C'est l'objectif de cette deuxième partie. Pour modéliser la progression des records en fonction du temps, on utilise classiquement une fonction exponentielle décroissante de la forme : f(t) = L + a · e−bt où : • t représente l'année, • L est la limite asymptotique — la performance plancher vers laquelle le record tend, • a et b sont des paramètres positifs qui décrivent la vitesse de convergence. Calculons la limite de.... »