grand oral maths: Sujet : Comment le pendule de Foucault illustre-t-il le théorème des valeurs intermédiaires ?

« Sujet : Comment le pendule de Foucault illustre-t-il le théorème des valeurs intermédiaires ? Introduction "En 1851, Léon Foucault réalise une expérience restée célèbre : il suspend un pendule de 67 mètres sous le dôme du Panthéon à Paris.

Ce qui est remarquable, c'est que le plan dans lequel le pendule oscille tourne lentement au fil des heures — et cette rotation est la preuve directe que la Terre tourne sur elle-même. Mais en étudiant cette expérience, je me suis posé une question qui n'a rien de physique : est-ce que le pendule est mathématiquement obligé de passer par sa position d'équilibre à chaque oscillation ? On le voit bien à l'œil, mais peut-on le démontrer rigoureusement ? C'est cette question que je vais traiter, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.

Je vais d'abord modéliser le mouvement du pendule, puis mettre en place les conditions d'application du théorème, et enfin tirer les conclusions mathématiques et les interpréter." Partie 1 — Modéliser le mouvement du pendule Ce qu'est un pendule simple "Un pendule simple, c'est une masse, qu'on appelle le bob, suspendue à un fil inextensible de longueur fixe, libre d'osciller dans un plan vertical autour d'un point fixe.

C'est le modèle le plus simple possible d'un pendule, et c'est celui qu'on utilise ici. Pour décrire mathématiquement sa position, on introduit une fonction.

On note θ(t) l'angle, exprimé en radians, que fait le fil avec la verticale à l'instant t.

C'est la seule variable dont on a besoin pour décrire entièrement la position du pendule." La convention de signe "On choisit une convention de signe : θ est positif quand le pendule est d'un côté de la verticale, négatif quand il est de l'autre côté.

La position d'équilibre « le pendule parfaitement vertical » correspond à θ égal à zéro. Cette convention est importante parce que c'est elle qui va nous permettre de parler de changement de signe, et donc d'utiliser le TVI." La continuité de θ(t) "Quelle est la propriété mathématique essentielle de cette fonction θ ? Physiquement, le pendule se déplace de façon continue dans l'espace.

À chaque instant, il occupe une position bien définie, et il ne peut pas sauter d'un angle à un autre sans passer par les positions intermédiaires.

Il n'y a aucune rupture, aucun saut dans son mouvement. On traduit cette réalité physique en disant que θ est une fonction continue sur ℝ.

Plus précisément, pour tout instant t₀, la limite de θ(t) quand t tend vers t₀ est égale à θ(t₀).

La fonction ne présente aucune discontinuité. C'est cette propriété de continuité qui est le point de départ de tout ce qui suit — sans elle, le théorème que nous allons utiliser ne pourrait pas s'appliquer." La notion de période et le bon intervalle "Le pendule est un phénomène périodique.

Cela signifie qu'il existe un réel T strictement positif, appelé la période, tel qu'après un temps T le pendule revient exactement dans le même état : même angle, même vitesse. Mathématiquement, cela s'écrit θ(t + T) = θ(t) pour tout t.

En particulier, θ(T) = θ(0). Or, si θ(T) = θ(0), alors θ(0) et θ(T) ont le même signe.

Sur l'intervalle [0, T], il n'y a donc pas de changement de signe apparent entre les extrémités — du moins pas directement visible entre θ(0) et θ(T). Donc si on veut appliquer le TVI, il faut travailler sur un intervalle plus court.

Le bon choix, c'est la demi-période [0, T/2]. Pourquoi ? Parce qu'à t = 0, on lâche le pendule depuis une extrémité de son oscillation : θ(0) = θ_max, avec θ_max strictement positif.

Et à t = T/2, le pendule a parcouru la moitié de son oscillation et se trouve à l'extrémité opposée : θ(T/2) = −θ_max, qui est strictement négatif. Cette fois, θ(0) et θ(T/2) sont bien de signes opposés.

C'est sur cet intervalle qu'on va travailler." Partie 2 — Le théorème des valeurs intermédiaires Énoncé du théorème "Rappelons précisément l'outil mathématique que nous allons utiliser. Le théorème des valeurs intermédiaires — qu'on abrège souvent TVI — s'énonce ainsi : soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b].

Si f(a) et f(b) sont de signes strictement opposés — c'est-à-dire si f(a) × f(b) < 0 — alors il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f(c) = 0. Avant d'aller plus loin, je veux insister sur ce que ce théorème dit vraiment.

Il affirme l'existence d'un zéro.

Il ne dit pas combien il y en a — il peut y en avoir un, deux, dix.

Il ne dit pas non plus où il se trouve — il ne donne pas la valeur de c.

Il dit simplement : un tel c existe, quelque part dans ]a, b[. C'est à la fois la.... »