Grand oral maths Problématique : Comment les mathématiques ont-elles dompté l’infini ?

« Problématique : Comment les mathématiques ont-elles dompté l’infini ? III) Le nombre de Graham. Très jeune, on a souvent tendance à vouloir connaitre la nombre le plus grand sans que la réponse soit l’infinie. Le nombre de Graham est le plus grand nombre utilisé dans une démonstration mathématique.

On peut donc supposer qu’il soit la plus grande valeur utilisée sérieusement.

Cette valeur est incommensurable, aucun mot ne peut décrire son immensité.

Pour comprendre ce nombre nous avons d’abord besoin d’aborder des nombre très petit… comme un milliard par exemple… Oui, oui un milliard est minuscule, c’est ce que le nombre de Graham tente de vous faire reconnaitre.

Mais pourquoi trouve-t-on qu’un milliard est relativement grand ? Combien de temps nous faudrait-il pour atteindre le milliard ? J’ai fait mes calculs, il vous faudrait une quinzaine de minutes pour compter jusqu’à 1000, 2/3 heures pour compter jusqu’à 10 000, par contre pour compter jusqu’à 1 000 000 il faudrait que vous vous y mettiez ??? heures tous les jours en reprenant là où vous étiez la veille pendant un an.

Concernant le milliard, on sait qu’il y a un milliard de secondes dans un peu moins de 32 ans.

Notez bien qu’une seconde ne suffit pas pour compter certains nombres à l’oral… par exemple : 666 666 666.

Si vous trouvez un jour la motivation pour compter jusqu’à ce milliard, il est très probable que vous vous y soyez pris un peu trop retard.

Il semblerait bien qu’une vie entière ne suffise pas pour atteindre le milliard à moins d’avoir une vie dédiée qu’à ça. Rapprochons nous de l’infini en évoquant le gogol, sa valeur est de 10100…une valeur plus importante que le nombre d’atomes présent dans l’univers observable estimé à 1080.

Un gogol n’est rien comparé à un gogolplex.

Un gogolplex est 10 𝑔𝑜𝑔𝑜𝑙 .

C’est le chiffre 1 suivie d’un gogol de zero.

Il est donc totalement impossible de l’écrire en nombre décimal vu qu’il y a plus de zéro dans un gogolplex que d’atomes dans l’univers.

On s’approche petit à petit du nombre de Graham mais la route est encore longue. Il est nécessaire de connaitre la puissance itérée de Knuth pour se rendre compte de l’immensité du nombre de Graham… car les symboles mathématiques classiques ne permettent pas son écriture. Knuth a donc inventé un nouveau symbole : la flèche.

Une valeur « a » suivie d’une flèche vers le haut et d’une autre valeur « b » se comprend par « a » puissance « b ».

Il est aussi possible d’accumuler ces flèches : une valeur « a » suivie de deux flèches et d’une valeur « b » se traduit par « a », flèche, « a », flèche, « a », « b » fois.

Donc « a » puissance « a » puissance « a », b fois.

Prenons un exemple concret pour visualiser la situation : 2, flèche, flèche, 3 vaut 2, flèche, 2, flèche, 2 soit 2 puissance 2 puissance 2.

Plus compliqué encore, il est possible d’accumuler une somme de flèches infinies, on reproduit le schéma : 2, trois flèches, 3 vaut 2, double flèches, 2, double flèche, 2. Une fois compris cela, on peut s’attaquer au vive du sujet : la suite de Graham.

La suite de Graham est la suivante : elle commence par g1 = 3 suivie de 4 flèches puis d’un 3.

La deuxième valeur de cette suite est g2 = 3 suivie de g1 flèches puis d’un 3.

La troisième est g3 = 3, g2 flèches, 3 et ainsi de suite. Le nombre de Graham est, tenez-vous bien, la 64ème valeur de cette suite.. »