grand oral maths: pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro

« POURQUOI NE PEUT-ON PAS DIVISER PAR 0 ? J’ai choisi ce sujet car… INTRODUCTION : Le chiffre 0 a été inventé aux alentours du VIe siècle en Inde par le mathématicien et astronome Brahmagupta.

Il définit le 0 comme la soustraction d'un nombre par lui-même (par exemsple 1-1=0).

Cependant, l'apparition du zéro n'a pas manqué d'entraîner quelques situations compliquées.

Comme le fait de diviser par 0.

En mathématiques, une division par zéro est dite indéterminée, c'est-à-dire qu'elle est impossible à poser.

Je me suis alors demandé pourquoi ? *Tout d'abord, il ne faut pas oublier que la division par zéro consiste à chercher le résultat qu'on obtiendrait en prenant 0 comme diviseur.

Ainsi, une division par zéro s'écrirait x/0, où x serait le numérateur.

De ce fait, cette opération n'a pas de sens car zéro (l'élément neutre de l'addition) est un élément absorbant pour la multiplication car lorsque l'on multiplie x par 0 on obtient 0. *Il faut garder à l'esprit qu'il existe non pas quatre opérations arithmétiques élémentaires, mais deux.

Soustraire un nombre revient en effet à ajouter son opposé.

C'est donc une addition à peine déguisée.

Il en est de même lorsqu'on divise par un nombre : on multiplie en fait par son inverse.

Ainsi 3/4 revient à multiplier 3 par son inverse, soit 0,75.

Pour n’importe quel nombre x, son inverse est donc y tel que x*y= 1.

Diviser par zéro reviendrait donc à multiplier par l’inverse de zéro.

Or, zéro n’a pas d’inverse puisque n’importe quel chiffre multiplié par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques. *Un autre exemple de l’impossibilité de la division par zéro : Prenons comme hypothèse de départ que x soit différent de zéro.

Imaginons un nombre z tel que z= x/0.

Multiplions par zéro des deux cotés de l’équation, on obtient z*0 = x/0 * 0.

Comme n’importe quel nombre multiplié par 0 donne 0, on a donc 0= x/0 *0 et de l’autre côté, les zéros s’éliminent, ce qui donne 0=x, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de départ qui était que x soit différent de zéro. *Mais que se passerait-il si l’on essayait tout de même de diviser par 0 ? Prenons la fonction défini par f(x)= 7/x. La limite de f(x) lorsque x tend vers 0 en étant plus grand que zéro est + l’infini.

Càd que lorsque l’on divise 7 par des nombres de plus en plus proche de zéro en étant plus grand que zéro, les résultats deviennent infiniment grands.

Par exemple 7/0,1= 70 ; 7/0,001= 7000 ; 7/0,00001= 700 000 etc… La limite de f(x) lorsque x tend vers 0 en étant plus petit que zéro est -l’infini.

7/-0,1= -70 ; 7/0,001= -7000 ; 7/-0,00001= -700 000.

Diviser par zéro tend donc à la fois vers l’infiniment grand et l’infiniment petit, ce qui est impossible. *Par ailleurs, une fraction ayant 0 au dénominateur est indéterminé : ni égale à 0, ni égale à l’infini.

Diviser par zéro permettrait d’obtenir des égalités totalement fausse.. »