Grand Oral Maths et Art Maths et art : Les Fractales

« Maths et art : Les Fractales Une Fractale est une forme géométrique particulière.

C’est quelque chose que l’on retrouve souvent dans la nature.

Vous pouvez vous imaginer le chou de romanesco.

Si je vous demande de dessiner ce chou vous tracerez vraisemblablement plusieurs cônes de tail différent jusqu'à former une fleur.

Mais en réalité ces cônes sont eux même composés de plus petit cones qui eux même se divise encore en petits cones.

Un autre exemple est la fougère.

Les feuilles de cette plante sont composées de plusieurs branches principales dont part de nouvelle petite branches, ces branche se divisent encore en de nouvelle petite branche.

Peu importe sur quel partie de l’objet on zoome on retrouve le même schéma et le même motif.

Ainsi on peut donner une définition d’une fractale.

Il s'agit d’un objet mathématique dont la structure est invariante par son changement d’échelle.

A contrario, si vous prenez par exemple un cercle, plus on zoom, plus on trouvera une ligne, et non plus un cercle. Une des autres particularités de cet objet est qu’il permet de modéliser une dimension non entière.

Une feuille de papier fait partie de la dimension 2D par exemple, cube appartient au 3D, mais cette feuille froissée appartient à une dimension non entière qui peut être déterminée grâce aux fractales. ​ Dans cet exposé, nous verrons dans quelle mesure les fractales contribuent au processus de création artistique. premier temp courbe de koch, représenté/utilité dans l’art ​ ​ A la fin des années 1970, le mathématicien français Mandelbrot, modélise pour la première fois cet objet qui n’est pas modélisable par des objets mathématiques classiques. ​ L’exemple le plus connu est la courbe de Von Koch ou la courbe du flocon de neige.

La particularité de cette courbe est que aire est fini contrairement à son périmètre qui tend vers l'infini, car elle s’allonge d’un tiers à chaque nouvelle itération.

C’est un peu contre-intuitif ! Je vais ici faire le calcul du périmètre de la courbe de Koch : -​ Pour construire cette courbe on part d’un triangle équilatéral de côté . -​ On divise chaque côté en trois segments égaux. -​ A partir du segment du centre on trace un nouveau triangle équilatéral. de côté 1⁄3 -​ La longueur de ce nouveau côté sera de 4/3 , il s’agit de la première division. -​ Lorsque l’on répète ce processus une deuxième fois la longueur du côté mesurera (4/3)^^2 l=a a a a ​ On peut modéliser le périmètre de cette courbe par une suite géométrique de raison 4/3 et de premier terme ​ 4/3 > 1​ ​ lim(4/3)^^n = +∞ ​ ​ a lim un = +∞ Après la modélisation des fractales par Mandelbrot et l'avancée technologique des logiciels, on a vu l’art fractal émerger qui est fait à partir de calculs et d'algorithmes, à partir des années 80. L’artiste français Jean-Pierre Meynard a par exemple reprit une peinture.... »