Grand oral mathématiques Un événement d'une probabilité extrêmement faible est-il condamné à ne jamais se produire ?

« Introduction – Accroche (1 min) Bonjour, je m’appelle Yaël, je suis en terminale avec les spécialités mathématiques et SES et aujourd’hui, j’ai choisi de vous parler d’une question qui m’a toujours intrigué : Un événement d'une probabilité extrêmement faible est-il condamné à ne jamais se produire ? Ce genre de question, je pense qu’on se l’est tous posée au moins une fois.

Par exemple : Imaginez que vous lancez une pièce 100 fois… et vous tombez sur pile, 100 fois d’affilée. Quelle est la probabilité que ça arrive ? Pratiquement nulle, non ? Et pourtant, ce n’est pas impossible.

Ce sont des coïncidences qu’on trouve étranges, presque « impossibles », et pourtant… elles arrivent. Ce sont ces petites situations, à la frontière entre hasard et incroyable, qui m’ont donné envie d’explorer ce sujet avec les outils mathématiques appris en Terminale.

Parce que derrière ce que l’on appelle parfois « chance » ou « malchance », il y a en réalité des notions très précises. Pour y voir plus clair, je vais d’abord expliquer ce que signifie exactement une probabilité très faible.

Ensuite, je montrerai pourquoi, même si elles sont rares, ces situations peuvent bel et bien se produire.

Enfin, j’illustrerai cela avec un cas concret : deviner un mot de passe par hasard… ce n’est pas impossible. Partie I – Qu’est-ce qu’une probabilité infiniment faible ? Introduction​ Quand on parle d’un événement de probabilité infiniment faible, on parle d’un événement dont la probabilité est extrêmement proche de zéro, mais qui n’est jamais nulle.

Cela signifie que, même si c’est très improbable, cet événement peut tout de même se produire. 1.

Exemple avec une suite géométrique Pour illustrer cela, prenons la suite suivante : Un=(1/2)n Cette suite est strictement décroissante, toujours positive, et tend vers 0 quand n→+∞.

En d’autres termes, (Un) ne devient jamais exactement zéro, mais elle s’en rapproche de plus en plus. Cette suite correspond à la probabilité d’obtenir pile n fois de suite en lançant une pièce équilibrée. Quelques valeurs : ●​ Pour n=10:​ 1 P=(1/2)10=​1024 ●​ Pour n=50:​ P≈9×10−16 On voit que cette probabilité devient extrêmement petite, mais jamais nulle. 2.

La formule clé : probabilité d’au moins un succès Supposons que la probabilité de réussir une fois une certaine épreuve est p, avec p>0. ●​ La probabilité d’échouer n fois de suite est :​ (1−p)n Donc, la probabilité d’avoir au moins un succès en n essais est :​ P=1−(1−p)n Lorsque n→+∞, on a : lim⁡n→+∞(1−p)n = 0 D’où, par somme : limP→1 Cela signifie qu’avec un nombre suffisamment grand d’essais, même un événement très improbable finit par se produire avec une probabilité qui tend vers 1. Conclusion​ Un événement de probabilité infiniment faible n’est donc pas impossible.

Sa probabilité est toujours strictement supérieure à zéro, aussi petite soit-elle, ce qui implique qu’avec assez de répétitions, il a une réelle chance de se réaliser. ✅ Partie II – Oui, ces événements peuvent se produire (3-4 min) Même si un événement a une probabilité extrêmement faible, cela ne signifie pas qu’il ne se produira jamais.

En réalité, plusieurs lois mathématiques nous montrent que le rare peut arriver, surtout si on répète suffisamment de fois l’expérience.

Voyons pourquoi. 1.

La loi des grands nombres La loi des grands nombres nous dit que plus on répète une expérience aléatoire, plus les fréquences observées se rapprochent des probabilités théoriques.​ Autrement dit, ce n’est pas parce qu’un événement est rare qu’il ne se produira pas.

Au contraire : à force de répétition, même les événements improbables peuvent finir par arriver. 2.

La loi binomiale et les événements extrêmes Pour aller plus loin, on peut s’appuyer sur la loi binomiale, qui permet de calculer la probabilité d'obtenir un certain nombre de succès dans une série d’essais indépendants. On note : X∼B(n,p) Ce qui signifie que X suit une loi binomiale de paramètres n (nombre d’essais) et p (probabilité de succès à chaque essai).​ La formule donne : 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑚𝑖𝑠 𝑛) × 𝑝ᵏ × (1 − 𝑝)ⁿ⁻ᵏ Prenons un exemple :​ On lance une pièce 100 fois.

Quelle est la probabilité d’avoir pile 100 fois « pile » ? P(X=½) = (½)100 ≃ 7,9×10-31 C’est une probabilité infime, presque inimaginable… sauf si on rejoue ce jeu des milliards de fois.

Alors, ce scénario finit par arriver. 3.

Le paradoxe du singe savant Prenons un exemple qui illustre bien comment un événement d’une probabilité extrêmement faible peut tout de même se produire : le paradoxe du singe savant Imaginez un singe qui tape complètement au hasard sur un clavier contenant les 26.... »