Grand oral mathématiques Un événement d'une probabilité extrêmement faible est-il condamné à ne jamais se produire ?
Publié le 26/05/2025
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«
Introduction – Accroche (1 min)
Bonjour, je m’appelle Yaël, je suis en terminale avec les spécialités mathématiques et SES
et aujourd’hui, j’ai choisi de vous parler d’une question qui m’a toujours intrigué : Un
événement d'une probabilité extrêmement faible est-il condamné à ne jamais se produire ?
Ce genre de question, je pense qu’on se l’est tous posée au moins une fois.
Par exemple :
Imaginez que vous lancez une pièce 100 fois… et vous tombez sur pile, 100 fois d’affilée.
Quelle est la probabilité que ça arrive ? Pratiquement nulle, non ? Et pourtant, ce n’est pas
impossible.
Ce sont des coïncidences qu’on trouve étranges, presque « impossibles », et
pourtant… elles arrivent.
Ce sont ces petites situations, à la frontière entre hasard et incroyable, qui m’ont donné
envie d’explorer ce sujet avec les outils mathématiques appris en Terminale.
Parce que
derrière ce que l’on appelle parfois « chance » ou « malchance », il y a en réalité des
notions très précises.
Pour y voir plus clair, je vais d’abord expliquer ce que signifie exactement une
probabilité très faible.
Ensuite, je montrerai pourquoi, même si elles sont rares, ces
situations peuvent bel et bien se produire.
Enfin, j’illustrerai cela avec un cas concret :
deviner un mot de passe par hasard… ce n’est pas impossible.
Partie I – Qu’est-ce qu’une probabilité infiniment faible ?
Introduction
Quand on parle d’un événement de probabilité infiniment faible, on parle d’un événement
dont la probabilité est extrêmement proche de zéro, mais qui n’est jamais nulle.
Cela signifie
que, même si c’est très improbable, cet événement peut tout de même se produire.
1.
Exemple avec une suite géométrique
Pour illustrer cela, prenons la suite suivante :
Un=(1/2)n
Cette suite est strictement décroissante, toujours positive, et tend vers 0 quand n→+∞.
En
d’autres termes, (Un) ne devient jamais exactement zéro, mais elle s’en rapproche de plus
en plus.
Cette suite correspond à la probabilité d’obtenir pile n fois de suite en lançant une pièce
équilibrée.
Quelques valeurs :
● Pour n=10:
1
P=(1/2)10=1024
● Pour n=50:
P≈9×10−16
On voit que cette probabilité devient extrêmement petite, mais jamais nulle.
2.
La formule clé : probabilité d’au moins un succès
Supposons que la probabilité de réussir une fois une certaine épreuve est p, avec p>0.
● La probabilité d’échouer n fois de suite est :
(1−p)n
Donc, la probabilité d’avoir au moins un succès en n essais est :
P=1−(1−p)n
Lorsque n→+∞, on a : limn→+∞(1−p)n = 0
D’où, par somme :
limP→1
Cela signifie qu’avec un nombre suffisamment grand d’essais, même un événement très
improbable finit par se produire avec une probabilité qui tend vers 1.
Conclusion
Un événement de probabilité infiniment faible n’est donc pas impossible.
Sa probabilité est
toujours strictement supérieure à zéro, aussi petite soit-elle, ce qui implique qu’avec assez
de répétitions, il a une réelle chance de se réaliser.
✅ Partie II – Oui, ces événements peuvent se produire (3-4 min)
Même si un événement a une probabilité extrêmement faible, cela ne signifie pas qu’il ne se
produira jamais.
En réalité, plusieurs lois mathématiques nous montrent que le rare peut
arriver, surtout si on répète suffisamment de fois l’expérience.
Voyons pourquoi.
1.
La loi des grands nombres
La loi des grands nombres nous dit que plus on répète une expérience aléatoire, plus les
fréquences observées se rapprochent des probabilités théoriques.
Autrement dit, ce n’est pas parce qu’un événement est rare qu’il ne se produira pas.
Au
contraire : à force de répétition, même les événements improbables peuvent finir par
arriver.
2.
La loi binomiale et les événements extrêmes
Pour aller plus loin, on peut s’appuyer sur la loi binomiale, qui permet de calculer la
probabilité d'obtenir un certain nombre de succès dans une série d’essais indépendants.
On note :
X∼B(n,p)
Ce qui signifie que X suit une loi binomiale de paramètres n (nombre d’essais) et p
(probabilité de succès à chaque essai).
La formule donne :
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑚𝑖𝑠 𝑛) × 𝑝ᵏ × (1 − 𝑝)ⁿ⁻ᵏ
Prenons un exemple :
On lance une pièce 100 fois.
Quelle est la probabilité d’avoir pile 100 fois « pile » ?
P(X=½) = (½)100 ≃ 7,9×10-31
C’est une probabilité infime, presque inimaginable… sauf si on rejoue ce jeu des milliards
de fois.
Alors, ce scénario finit par arriver.
3.
Le paradoxe du singe savant
Prenons un exemple qui illustre bien comment un événement d’une probabilité extrêmement
faible peut tout de même se produire : le paradoxe du singe savant
Imaginez un singe qui tape complètement au hasard sur un clavier contenant les 26....
»
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