Grand oral mathématiques paracétamol

« INTRODUCTION (1 min +) Je vais vous parler d'une question qui a probablement touché chacun d'entre vous à un moment ou un autre.

Vous souffrez d'une migraine, d'une rage de dents, de douleurs articulaires...

vous allez chercher un comprimé de paracétamol.

Vous ouvrez la boîte, vous lisez la notice.

Et là , vous voyez écrit en gros caractères : « À renouveler au bout de 4 heures minimum Mais avez-vous jamais vraiment réfléchi à la raison de ce délai précis de 4 heures ? Pourquoi pas 2 heures ? Pourquoi pas 6 heures ? Derrière ce simple conseil médical, il existe une explication mathématique. Et c'est exactement ce que je vais vous montrer aujourd'hui. Alors comment expliquer scientifiquement pourquoi l'intervalle de temps minimal entre deux prises de paracétamol est fixé à 4 heures ? Pour répondre à cette question, je vais suivre une démarche en trois étapes.

D'abord, je vais construire un modèle mathématique fondé sur des hypothèses et une loi chimique.

Ensuite, je vais traduire ce modèle en suites récurrentes qui décrivent comment la concentration en paracétamol évolue dans le sang au fil des prises successives.

Et enfin, j'analyserai la convergence de ces suites ,leurs limites, PARTIE 1 : CONSTRUIRE LE MODÈLE (3.30 min) Pour construire un modèle scientifique qui décrit ce phénomène, je dois d'abord poser des hypothèses claires. Première hypothèse — hypothèse H1 : Je suppose que le volume de sang dans l'organisme est constant.

Chez un adulte sain, nous avons environ 5 litres de sang.

Ce volume peut varier légèrement avec l'hydratation, mais sur une période de quelques heures, pendant un traitement de la douleur, on peut raisonnablement dire qu'il reste constant.

C'est notre première simplification. Deuxième hypothèse — hypothèse H2 : Je suppose que la molécule active du paracétamol se trouve instantanément dans la circulation sanguine une fois qu'on l'a avalée.

En réalité, l'absorption par voie orale prend entre 15 et 30 minutes, mais pour simplifier notre modèle, on choisit de négliger ce délai et on consid_re que l’absorption est casi immédiate Maintenant, une fois que le paracétamol est dans le sang, l'organisme l'élimine progressivement par un processus appelé la clairance.

C'est principalement le foie qui métabolise la molécule. Et c'est là qu'intervient la chimie.

Cette élimination peut être définie avec une vitesse v = −d[A]/dt = k · [A] où [A] est la concentration en paracétamol, d[A]/dt est la dérivée temporelle, k est la constante de vitesse, et le signe moins indique une disparition. On peut résoudre cette équation différentielle de la forme y’(t)= ky si on multiplie par -1 on a d[A]/dt =- k · [A], la solution est alors de la forme t= Cekt donc ici on a A = C · exp(−k · t) Or pour t=0, A= A0 =C · exp(−k · 0) donc C=A0 Ainsi A = [A]₀ · exp(−k · t) C'est une fonction exponentielle décroissante.

[A]₀ est la concentration immédiatement après la prise. il y a aussi un paramètre fondamental : le temps de demi-réaction, noté t₁/₂.

C'est le temps qu'il faut pour que la concentration soit réduite de moitié.

Pour le paracétamol, ce temps est d'environ 2 heures, soit 120 minutes. Et il existe une relation simple qu’on utilise en chimie k = ln(2) / t₁/₂ mais on peut ici la démontrer : pour t1/2 on a A1/2 = A0/2 donc [A]₀ · exp(−k · t1/2) =A0/2, en divisant par A0 de chaque coté on obtient exp(−k · t1/2) =1/2 en appliquant la fonction ln : -kt1/2=ln(1/2) finalement vu que ln(1/2) =-ln(2) en divisant par -t 1/2 de chaque coté on a k = ln(2)/ t1/2 = 0,693 / 120≈ 0,00578 min⁻¹ notre modèle théorique est donc prêt Mais reste un problème central : si on reprend plusieurs paracétamol de suite, cela peut s’avérer dangereux .On peut alors s’aider des suites pour modéliser cette accumulation successive. PARTIE 2 : TRADUIRE EN SUITES RÉCURRENTES (2 min s) On sait qu’ après chaque prise, on ajoute une dose D il y a un maximum de concentration, puis une décroissance exponentielle jusqu'à la prise suivante, où il y a un minimum, avant que le maximum suivant n'apparaisse. Notons : • Un = la concentration maximale (immédiatement après la n-ème prise) • Vn = la concentration minimale (juste avant la n-ème prise) • Δt = l'intervalle de temps entre deux prises (par exemple, 4 heures = 240 minutes) • D = la dose apportée à chaque prise (en mg/L) On sait que pendant l'intervalle Δt entre deux prises, la concentration décroît exponentiellement selon A(t) = [A]₀ · exp(−k · Δt). Donc, le minimum Vn (juste avant la prise n) est relié au maximum Un (juste après la prise n) par : Vn =exp(−k · Δt) * Un car Pendant le temps Δt, la concentration décroît exponentiellement à cause de l’élimination du médicament par le foie.

» Appelons a = exp(−k · Δt).

C'est un nombre réel strictement entre 0 et 1, (justifier), il correspond à la diminution de la concentration de médicament dans le sang.

Donc : Vn = a · Un Ensuite, quand on prend la dose n+1, on ajoute D à la concentration minimale Vn, c’est à ditre ce qu’il reste du médiacment dans le sang de la prie précédente .

Le nouveau maximum Un+1 est donc : Un+1 = Vn + D = a · Un + D c’est notre relation de récurrenceavec a = exp(−k · Δt) et 0 < a < 1. C'est une suite arithmético-géométrique. Pour la suite de la modélisation on a besoin de la limite lim(n+∞) Un . On définie la fonction U(n) = a n + D ∀n ∈ 𝕟* Un est monotone puisque 0 < a < 1 et n ∈ 𝕟* , et U(n) est une fonction affine donc Un est décroissante .

De plus, Un est bornée, puisque 0 < an < 1 donc D < a n + D < 1 +D ainsi D est le minimum de Un On peut donc appliquer le théorème du point fixe : lim(n+∞) Un = a · lim(n+∞) Un + D En résolvant : lim(n+∞) Un − a · lim(n+∞) Un = D lim(n+∞) Un · (1 − a) = D lim(n+∞) Un = D / (1 − a) Et pour les minima, puisque v_n = a · u_n : Vn → lim(n+∞) Vn = a · lim(n+∞) Un = a · D / (1 − a) Les concentrations maximales et minimales convergent donc vers des limites définies Maintenant, appliquons cela au paracétamol PARTIE 3 : APPLICATION AU PARACÉTAMOL ET ANALYSE (3.20 s)* Il faut savoir que le seuil de dangerosité pour la prise de paracétamol est 150 mg/L.

Si la concentration reste constamment au-dessus de 150 mg/L pendant plus de 4h heures, il y a risque d'accumulation toxique et de dommage hépatique. Pour le paracétamol, nous avons : • t₁/₂ = 120 minutes • k ≈ 0,00578 min⁻¹ • pour chaque prise de 1000 mg, sachant qu’un adulte de 70kg a environ 5L de sang on a D = 1000/5= 200 mg/L Testons maintenant trois scénarios différents en modifiant Δt : Scénario 1 : Intervalle Δt = 120 minutes (2 heures) Avec Δt = 120 min : a = exp(−0,00578 × 120) = exp(−0,6936) ≈ 0,5 Donc : lim(n+∞) Un = 200 / (1 − 0,5) = 200 / 0,5 = 400 mg /L lim(n+∞) Vn = 0,5 × 400 = 200 mg/L Cela signifie que la concentration ne redescend jamais en dessous de 200 mg/L.

Et le maximum atteint 400 mg/L, cela ne respecte pas la limite des 150mg/L On considère alors dangereuse cette intervalle de 2h Scénario 2 : Intervalle Δt = 240 minutes (4 heures) Avec Δt = 240 min : a = exp(−0,00578 × 240) = exp(−1,3863) ≈ 0,25 Donc : lim(n+∞) Un = 200 / (1 − 0,25) = 200 / 0,75 ≈ 267 mg/L lim(n+∞) Vn = 0,25 × 267 ≈ 67 mg/L Le maximum converge vers 267 mg/L et le minimum vers 67 mg/L.

Crucialement, le minimum est bien inférieur au seuil de 150 mg/L.

La concentration redescend en dessous de ce seuil pendant une portion significative de l'intervalle de 4 heures. Verdict pour le scénario 2 : SÛRE ET EFFICACE.

✓ Scénario 3 : Intervalle Δt = 480 minutes (8 heures) Avec Δt = 480 min : a = exp(−0,00578 × 480) = exp(−2,7726) ≈ 0,0625 Donc : lim(n+∞) Un = 200 / (1 − 0,0625) = 200 / 0,9375 ≈ 213 mg/L lim(n+∞) Vn = 0,0625 × 213 ≈ 13 mg/L Le maximum converge vers 213 mg/L et le minimum vers 13 mg/L.

C'est très faible.

Il n'y a pas de danger toxique puisque lim(n+∞) Vn inférieur ou égal 150 mg/L.

Cependant, pendant la majorité du cycle de 8 heures, la concentration est extrêmement basse.

Le traitement devient une succession de pics et de creux — du traitement par « à -coup ».

C'est pas le plus efficace en cas de douleur persistante Réponse à la problématique : L'intervalle de.... »