GRAND ORAL BAC : sujet mathématiques Comment évaluer la performance d’un test antidopage dans la sport ?

« GRAND ORAL BAC : sujet mathématiques Comment évaluer la performance d’un test antidopage dans la sport ? ACCROCHE : En juillet 1998, pendant la période du Tour de France, à la frontière Franco Belge, les douaniers arrêtent le soigneur de l’équipe Festina.

Dans son véhicule, 234 doses d’EPO sont retrouvées, des hormones de croissance, des amphétamines.

Toute l’équipe est exclue de la course.

C’est l’un des plus grand scandale du cyclisme.

Ce qui est réellement troublant, c’est que quelques jours auparavant, tous ces coureurs avaient été contrôlés négatifs au test antidopage. Alors, comment un test présenté comme fiable peut-il laisser passer autant de tricheurs ? Et c’est ce dont nous allons voir aujourd’hui.

Ma problématique est donc la suivante : Dans quelle mesure les mathématiques permettent-ils de garantir la justice d’un test antidopage ? Pour y répondre, je vais d’abord expliquer comment on modélise mathématiquement la performance d’un test Ensuite, j’exploiterai des données réelles grâce aux probabilités conditionnelles et aux arbres pondérés.

Enfin, je montrerai les limites de ces outils et ce qu’ils impliquent concrètement pour la justice sportive. 1.

MODÉLISATION DE LA PERFORMANCE D’UN TEST Tout d’abord, lorsqu’un athlète passe un test antidopage, il y a 4 situations possibles Le premier cas : le test est positif et l’athlète est réellement dopés.

C’est ce que l’on appelle un Vrai Positif (VP) Le deuxième cas : le test est négatif et l’athlète est propre donc pas dopé.

C’est un Vrai Négatif (VN) Cependant il y’a deux cas qui posent problèmes, le Faux Positif (FP) : le test est positif alors que l’athlète n’est pas dopé.

Et le Faux Négatif (FN) : le test est négatif alors que l’athlète est dopé comme dans l’affaire Festina Pour évaluer un test antidopage, on utilise trois notions principales. La première est la sensibilité.

C’est la capacité du test à détecter les Vrais Positifs.

Elle correspond à la probabilité d’obtenir un résultat positif sachant que l’athlète est dopé.

On la note : Se = PD(P) où D désigne l’événement ‘l’athlète est dopé’ et P désigne l’événement ‘le test est positif’.

Plus la sensibilité est élevée, plus le test détecte efficacement les tricheurs. La deuxième notion est la spécificité.

C’est la capacité du test à reconnaître les Vrais Négatifs.

Elle correspond à la probabilité d’obtenir un résultat négatif sachant que l’athlète n’est pas dopé.

On la note : Sp = PD̄(N) où D ̄ désigne l’événement ‘l’athlète n’est pas dopé’.

Plus la spécificité est élevée, moins le test accuse d’innocents. La troisième notion est la prévalence, notée P(D).

C’est la proportion réelle de dopés dans la population testée.

Elle ne dépend pas du test lui-même, mais du contexte sportif.

On ne peut déterminer la sensibilité et la spécificité d’un test que si l’on dispose d’une population dont on connaît les critères.

Dans le cas du dopage, il est difficile de disposer d’une cohorte de plusieurs centaines de personnes volontairement dopées afin de déterminer la sensibilité de test.

Avec la spécificité, c’est plus facile à déterminer puisqu’il s’agit de la population non dopé. Les trois caractères vu précédemment permettent de remplir les données de l’arbre pondéré comme modéliser en annexe 2.

EXPLOITATION DES DONNÉES À L’AIDE DES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES Maintenant que nous avons les outils pour modéliser un test, appliquons-les à des données réelles issues de l’AFLD, l’Agence Française de Lutte contre le Dopage En exploitant ces données j’ai relevé les chiffres suivants : La prévalence estimée du dopage dans le sport de haut niveau est de P(D) = 0,08, soit 8%.

(Cette estimation provient des rapports de fédérations sportives internationales et de données douanières).

La proportion de tests positifs observée sur plusieurs années par l’AFLD, est de P(P) = 0,016, soit 1,6%.

Les laboratoires antidopage ne publient pas leurs valeurs de sensibilité et de spécificité.

Toutefois, en connaissant P(D) et P(P), et en utilisant la formule des probabilités totales : P(P) = Se × P(D) + (1 − Sp) × P(D ̄) On peut estimer des valeurs approximatives de sensibilité et de spécificité.

On obtient : Se ≈ 0,14 et Sp ≈ 0,995.

Ce résultat peut paraître surprenant : une sensibilité de 14% signifie que le test ne détecte en moyenne que 14% des athlètes réellement dopés.

On y voit plusieurs raisons à cela.

D’abord, les athlètes dopés essaient d’être en dessous des seuils de détection en ajustant les dosages.

Ensuite, la prévalence réelle du dopage est peut-être sous-estimée, ce qui fausserait nos calculs.

Enfin, certaines substances ne sont pas encore détectables par les tests actuels.

La spécificité de 99,5%, en revanche, est rassurante car le test protège bien les innocents. Jusqu’ici, on a raisonné dans un sens : quelle est la probabilité d’être positif quand on est dopé ? C’est la sensibilité.

Mais en réalité ce n’est pas la question la plus importante, dans la vraie vie la vraie question est plutôt : si un test est positif est-ce que le sportif est vraiment dopé ? Et pour répondre à cette question on utilise le théorème de Bayes qui permet d’inverser une probabilité conditionnelle.

La formule est : PP(D)=(PD(P)*P(D))/P(P) • PP(D) : c’est ce qu’on cherche : la probabilité d’être dopé sachant que le test est positif • PD(P): c’est la sensibilité, qu’on a estimée à 0,14 • P(D) : c’est la prévalence, estimée à 0,08.... »