Fiche de révision polynôme du second degré

« Correction : Fiche de révisions – Second degré Exercice 1 : Résoudre des équations du second degré A.

Cas usuels a). 2x2 − 5x − 3 = 0 ∆ = (−5)2 − 4 × 2 × (−3) = 49 > 0. √ √ −b + ∆ −(−5) + 49 5+7 ⇐⇒ x = = = =3 2a 2 × 2 4 √ √ −b − ∆ −(−5) − 49 5−7 1 ou x = = = =− . 2a 2×2 4 2  S=  1 − ;3 2 b). 3x2 + 2x + 5 = 0 ∆ = b2 − 4ac = 22 − 4 × 3 × 5 = 4 − 60 = −56 < 0. Le discriminant est strictement négatif : l’équation n’a pas de solution réelle. S=∅ c). 4x2 − 12x + 9 = 0 ⇐⇒ ∆ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0.   −b −(−12) 12 3 3 x= = = = S= . 2a 2×4 8 2 2 Remarque : dans ce corrigé, à partir d’ici, on ne rappellera plus les formules de calcul du discriminant et des solutions. Pensez toutefois à les indiquer sur votre copie. d). 5x2 + x − 2 = 0 ∆ = 12 − 4 × 5 × (−2) = 1 + 40 = 41 > 0. √ √ √ √   −1 + 41 −1 − 41 −1 + 41 −1 − 41 ⇐⇒ x = ou x = . S= ; 10 10 10 10 e). 7x2 − 6x − 1 = 0 ⇐⇒ f). ∆ = (−6)2 − 4 × 7 × (−1) = 36 + 28 = 64 > 0.   6+8 6−8 1 1 x= = 1 ou x = =− S = − ;1 . 14 14 7 7 3x2 − 8x + 1 = 0 ∆ = (−8)2 − 4 × 3 × 1 = 64 − 12 = 52 = 4 × 13 > 0. √ √ √ √ 8 + 52 4 + 13 8 − 52 4 − 13 ⇐⇒ x = = ou x = = . 6 3 6 3  S= 4− √ 3 13 4 + ; √ 13  3 B.

Reconnaître une forme simple avant de calculer ∆ a). b). 4x2 − 9 = 0 9 ⇐⇒ x2 = 4 3 3 ⇐⇒ x = ou x = − . 2 2   3 3 S= − ; 2 2 x(3x − 5) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ x = 0 ou 3x − 5 = 0 5 x = 0 ou x = . 3  S= 0; 5 3  1 c). d). −2x2 − 7 = 0 3x2 + 12 = 0 x2 = −4. ⇐⇒ 7 x2 = − . 2 ⇐⇒ Or x2 ≥ 0 pour tout x ∈ R.

Il n’y a donc pas de solution Or x2 ≥ 0 pour tout x ∈ R.

Il n’y a donc pas de solution réelle. réelle. S=∅ S=∅ e). f). 5x2 − 15x = 0 ⇐⇒ 5x(x − 3) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 3. 2 x − 16 = 0 x2 = 16 ⇐⇒ ⇐⇒ x = 4 ou x = −4. S = {0; 3} S = {−4; 4} C.

Simplifier avant de calculer D.

Se ramener à une équation du second degré a). a). 2 35x − 84x + 49 = 0 ⇐⇒ 5x2 − 12x + 7 = 0 7 ou x = 1. ⇐⇒ x = 5 n S= 1; 4x3 − 5x2 + x = 0 (on divise par 7) ∆=4>0 ⇐⇒ x(4x2 − 5x + 1) = 0 ⇐⇒ 7 5 o x=0 ∆ = 9 > 0, 18x2 + 30x + 12 = 0 ⇐⇒ 3x2 + 5x + 2 = 0 2 ⇐⇒ x = − ou x = −1. 3 (on divise par 6) ∆=1>0 S= 2 −1; − 3 o 1 0; ; 1 4 n . ⇐⇒ o x= 1 . 4 . x(2x2 + 3x + 5) = 0 ⇐⇒ 24x2 − 18x − 6 = 0 ⇐⇒ 4x2 − 3x − 1 = 0 1 ⇐⇒ x = 1 ou x = − . 4 o x=0 ou 2x2 + 3x + 5 = 0. Pour le trinôme 2x2 + 3x + 5 : (on divise par 6) ∆ = 25 > 0 1 − ;1 4 ∆ = 32 − 4 × 2 × 5 = −31 < 0. Le trinôme n’a aucune racine réelle.

La seule solution provient donc du facteur x : S = {0} . . Exercice 2 : Équations produit et équations quotient a). (2x − 3)(x2 − 5x + 6) = 0 ⇐⇒ 2x − 3 = 0 ou x2 − 5x + 6 = 0. La première équation donne x = ou 2x3 + 3x2 + 5x = 0 c). S= x=1 b). n n 4x2 − 5x + 1 = 0. Pour le trinôme 4x2 − 5x + 1 : . b). S= ou 3 .

Pour x2 − 5x + 6 = 0 : 2 ∆ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 > 0, x= 5+1 5−1 = 3 ou x = = 2. 2 2 Ainsi,  S= 3 ; 2; 3 2 2  . b). (x2 − 4x + 3)(2x2 + x + 3) = 0 ⇐⇒ x2 − 4x + 3 = 0 ou 2x2 + x + 3 = 0. Pour x2 − 4x + 3 = 0 : Pour 2x2 + x + 3 = 0 : ∆1 = (−4)2 − 4 × 1 × 3 = 4 > 0, x= ∆2 = 12 − 4 × 2 × 3 = 1 − 24 = −23 < 0. 4+2 4−2 = 3 ou x = = 1. 2 2 Cette équation n’a pas de solution réelle. S = {1; 3} . c).

Le dénominateur impose x ̸= 4.

Le quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul : x2 − 5x + 6 = 0 ⇐⇒ x2 − 5x + 6 = 0 x−4 5+1 5−1 ⇐⇒ x = = 3 ou x = = 2. 2 2 ∆ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 > 0 Les deux valeurs sont admises, donc S = {2; 3} . d).

Le domaine de résolution est R \ {2}.

On commence par mettre les deux fractions au même dénominateur : x+1 2 (x + 1)(x − 2) − 4 − = 0 ⇐⇒ =0 2 x−2 2(x − 2) ⇐⇒ x2 − x − 6 = 0 1−5 1+5 = 3 ou x = = −2. ⇐⇒ x = 2 2 ∆ = (−1)2 − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25 > 0 Ces deux valeurs appartiennent au domaine de résolution.

Ainsi, S = {−2; 3} . e).

Le domaine de résolution est R \ {−2; 1}.

On commence par mettre le membre de gauche au même dénominateur : 2 x + 2 + 2(x − 1) 1 + = . x−1 x+2 (x − 1)(x + 2) L’équation devient donc x + 2 + 2(x − 1) = 1. (x − 1)(x + 2) Comme x ̸= 1 et x ̸= −2, on peut multiplier les deux membres par (x − 1)(x + 2) : x + 2 + 2(x.... »