Exo
Publié le 23/05/2020
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Corrig´e du devoir de math´ematiques
Exercice 1
1.
f= u
vavec
u(x ) = 4 x+ 1
v (x ) = x− 2 et donc,
u′
( x ) = 4
v ′
( x ) = 1
On a alors, f′
= u
′
v − uv ′
v
2 , soit pour tout
x∈ IR \ { 2} , f′
( x ) = 4(
x− 2) −(4x+ 1)1 (x − 2)2 =−
9 (x − 2)2.
g = 9 ×1
vavec
v(x ) = x− 2, donc v′
( x ) = 1, et alors, pour tout x∈ IR \ { 2} , g′
( x ) = 9 ×−
1 (x − 2)2.
On remarque que pour tout x∈ IR \ { 2}, f′
( x ) = g′
( x ).
2.
Pour tout x∈ IR \ { 2} , f(x ) − g(x ) = 4
x + 1
x− 2 − 9 x
− 2= 4
x − 8 x− 2 = 4(
x− 2) x− 2 = 4.
Ainsi, ( f(x ) − g(x )) ′
= (4) ′
= 0.
Or, ( f(x ) − g(x )) ′
= f′
( x ) − g′
( x ), et on en retrouve alors que f′
( x ) = g′
( x ).
Exercice 2 On appelle fla fonction d´enie sur [0; + ∞[ par f(x ) = √
x
x
+ 1 .
1.
Pour tout x >0,f′
( x ) = 1
2
√ x
(
x + 1) −√ x
(
x + 1) 2 =1
2
√ x
(x + 1) −2√ x √ x
(
x + 1) 2 =−
x + 1 2√ x
(x + 1) 2
2.
Pour tout x >0, (1 + x)2
> 0 et √
x >
0.
Ainsi, f′
( x ) est du signe de −x + 1 :
x 0 1 + ∞
f′
( x ) + 0 | − 12
f(x ) ր ց
0
D’apr`es le tableau de variation de f, pour tout x 0, 0 f(x ) = √ x
1 +
x 1 2
, d’o`u, en mulipliant par
1 + x > 0, 0 √
x
1 2(1 +
x).
Exercice 3
1.
On appelle fla fonction d´enie sur IR par l’expression f(x ) = x3
− 3x − 4.
a.
f′
( x ) = 3 x2
− 3 = 3( x2
− 1), et donc,
x −∞ − 1 1 + ∞
f′
( x ) + 0 | − 0| +
-2
f(x )
-6
b.
La fonction fest d´erivable sur [2; 3], strictement croissante, et telle quef(2) = −2< 0 et f(3) = 14 >0.
On en d´eduit, d’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ed iares, que l’´equationf(x ) = 0 admet une unique
solution sur [2; 3].
De plus, on calcule que f(2 ,19) ≃ − 0,07 0, d’o`u 2 ,19 < a < 2,20
.
c.
On en d´eduit le signe de f(x ) sur IR :
x −∞ − 1 1 a+∞
-2
f(x ) 0
-6
f (x ) − 0| +
Y.
Morel - xymaths.free.fr/Lycee/1S/ Correction du devoir de math´ematiques - 1S - 1/ 3.
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