Dans quelle mesure les modèles mathématiques permettent-ils de comprendre et d'anticiper les comportements des marchés financiers ?

« Imaginez que vous placez 10 000 euros en bourse.

Comment savoir si vous prenez trop de risques ? Comment une banque fixe-t-elle le prix d'un produit financier complexe ? Et surtout, comment la crise de 2008 a-t-elle pu faire s'effondrer l'économie mondiale alors que des centaines de mathématiciens travaillaient à modéliser les marchés ? C'est à ces questions que je vais tenter de répondre aujourd'hui, en me demandant : dans quelle mesure les modèles mathématiques permettent-ils de comprendre et d'anticiper les comportements des marchés financiers ? Pour y répondre, je montrerai d'abord comment les mathématiques sont devenues indispensables à la finance moderne.

Puis j'expliquerai le fonctionnement du modèle BlackScholes, véritable sommet de la finance mathématique.

Enfin, je m'interrogerai sur les limites de ces modèles, en particulier face aux crises. La première notion fondamentale qui relie les maths à la finance, c'est l'espérance mathématique. Elle permet de calculer le gain moyen que l'on peut espérer sur un investissement, en tenant compte de toutes les issues possibles et de leurs probabilités.

La formule est la suivante : on multiplie chaque résultat possible par sa probabilité, et on additionne le tout.

Prenons un exemple concret.

Supposons qu'une action ait 60 % de chances de rapporter 10 euros, et 40 % de chances de faire perdre 5 euros. L'espérance de gain est alors de 0,6 multiplié par 10, plus 0,4 multiplié par moins 5, ce qui donne 4 euros.

En moyenne, cet investissement rapporte 4 euros.

C'est cette logique qui guide chaque décision d'un trader ou d'un gestionnaire de portefeuille. Mais les marchés financiers ne fonctionnent pas avec des probabilités fixes et connues à l'avance.

Les rendements d'une action varient chaque jour de manière apparemment aléatoire.

Pour modéliser cette variabilité, les financiers utilisent la loi normale, aussi appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche.

L'idée est la suivante : si l'on observe les rendements quotidiens d'une action sur plusieurs années, leur distribution ressemble à une courbe en cloche, centrée autour d'une moyenne.

La grande majorité des rendements se situent près de cette moyenne, et les variations extrêmes sont rares.

C'est sur cette base que les banques calculent la Value at Risk, ou VaR, qui répond à la question : quelle est la perte maximale que je risque de subir sur un jour donné, avec un niveau de confiance de 99 % ? C'est un outil de gestion du risque utilisé partout dans le monde financier. Une troisième notion mathématique fondamentale en finance est celle des intérêts composés.

Si je place 1 000 euros à 5 % par an pendant 30 ans, je n'obtiens pas 2 500 euros comme on pourrait le croire naïvement, mais plus de 4 300 euros, grâce à la croissance exponentielle.

Chaque année, les intérêts sont eux-mêmes réinvestis et produisent à leur tour des intérêts.

C'est pour cela qu'on dit que le temps est le meilleur allié de l'investisseur, et cette logique est au cœur de tous les produits d'épargne et de retraite. Entrons maintenant dans le cœur du sujet avec le modèle le plus célèbre de la finance mathématique : le modèle de Black-Scholes.

Pour le comprendre, il faut d'abord savoir ce qu'est une option financière.

Une option est un contrat qui donne à son acheteur le droit, mais pas l'obligation, d'acheter ou de vendre un actif à un prix fixé à l'avance, appelé le prix d'exercice, et à une date future donnée.

Imaginons que l'action d'une entreprise vaut aujourd'hui 100 euros.

J'achète une option qui me donne le droit de l'acheter dans trois mois pour 105 euros.

Si dans trois mois l'action vaut 120 euros, j'exerce mon option, j'achète à 105 et je revends à 120 : je gagne 15 euros.

Si l'action vaut 95 euros, je n'exerce pas l'option et je perds seulement le prix que j'ai payé pour l'acheter.

La question fondamentale est donc : quel est le juste prix de cette option ? C'est exactement ce que résout le modèle de Black-Scholes. En 1973, les mathématiciens Fischer Black et Myron Scholes, rejoints par Robert Merton, publient une formule révolutionnaire.

Sans entrer dans tous les détails techniques, cette formule combine la loi normale, le logarithme, l'exponentielle et des notions de probabilités pour donner, à tout instant, le prix théorique juste d'une option.

Elle prend en compte le prix actuel de l'action, le prix d'exercice, la durée restante avant l'échéance, le taux d'intérêt sans risque, et surtout la volatilité de l'action,.... »