cotangente - mathématiques.

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cotangente - mathématiques.
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PRÉSENTATION

cotangente, fonction trigonométrique complémentaire de la fonction tangente, toutes deux introduites dans la définition de la mesure d'un angle en géométrie euclidienne. Le nombre cotangente d'un angle a, noté cotg a ou cotan a, est égal à l'inverse
du nombre tangente de a, noté tg a ou tan a, soit : cotan a = 1/tan a.

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MESURE D'UN ANGLE

Dans un triangle rectangle (ABC), comme celui de la figure ci-dessous, où l'angle entre les segments [CA] et [CB] est droit, donc égal à p/2, le nombre cotangente d'un angle ? entre les segments [AB] et [AC] est égal au quotient de la longueur AC du
côté adjacent à l'angle ? par la longueur CB du côté opposé à ?, soit : cotan ? = AC / CB

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ANALYSE

Dans l'ensemble des réels

et pour toute variable réelle x n'annulant pas la fonction sinus, on définit la fonction cotangente de x comme le quotient de la fonction cosinus de x par la fonction sinus de x : cotan x = cos x / sin x = 1/tan x

L'ensemble de définition de la fonction cotangente est le domaine D tel que : D =

/ {(kp/2}, où k est un entier relatif quelconque de . C'est une fonction impaire et périodique, de période égale à p, d'où : cotan (x + p) = cotan (x)

Elle est strictement décroissante par partie sur tout intervalle ]kp, (k + 1)p[. La fonction cotangente de x tend vers moins l'infini lorsque x tend par valeur inférieure vers kp, et vers plus l'infini lorsque x tend par valeur supérieure vers kp :

Le calcul de la dérivée de la fonction cotangente donne : (cotan x)' = - 1/sin2 (x) = - (1 + cotan2 x)
La fonction cotangente est donc solution de toute équation différentielle de type : f'(x) = - 1 - f2(x). L'ensemble des primitives de la fonction cotangente sont telles que : ?cotan (x).dx = - ln|sin x| + C
où ln est l'abréviation de la fonction logarithme népérien et C est une constante quelconque de .
La réciproque de la fonction cotangente d'un réel x de D est la fonction multiforme Arc cotangente, notée Arcotg ou Arctan : pour toute variable réelle x de l'ensemble de définition de la fonction cotangente, tel que le réel y soit défini comme
y = cotan x, on a alors x = Arc cotan y ; la fonction Arc cotan associe ainsi à tout réel de D une infinité de réels y ; lorsqu'il s'agit de mesures d'angles, le réel x est usuellement exprimé en radians.
La fonction trigonométrique complexe cotangente se définit à partir de la fonction exponentielle complexe eiz, dans le domaine complexe D égal à l'espace des nombres complexes z de , privé de l'ensemble des réels multiples de p (D =
k est un nombre relatif quelconque de ) ; on a : cotan z = cos z / sin z = i(e2iz + 1) / (e2iz - 1)
où i est l'imaginaire pur tel que i2 = - 1. La restriction de cette fonction aux nombres réels x de

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est la fonction trigonométrique usuelle cotan (x).

GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

La fonction cotangente hyperbolique, notée coth x, est une fonction strictement décroissante sur l'ensemble des réels ; sa limite lorsque x tend vers moins l'infini est égale à - 1, et elle est égale à + 1, lorsque x tend vers plus l'infini :

Elle admet pour dérivée la fonction : (coth x)' = 1 - coth2 (x) = 1/sh2 (x)
De plus, elle vérifie l'égalité suivante : coth (ix) = 1/(i cotan (ix)) = - i cotan x
où i est l'imaginaire pur tel que i2 = - 1.

/ {kp}, où

La fonction réciproque de la fonction coth est nommée argument de la cotangente hyperbolique ; elle est notée Arg coth. C'est une bijection de
vérifiant coth y = x. On démontre que :

Sa dérivée est la fonction :

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/ {0} sur

/ [- 1,1]. Pour tout réel x tel que |x| > 1, le nombre Arg coth x est l'unique réel y non nul