Comment l’invention des logarithmes a-t-elle contribué au développement de l’astronomie ?

« Comment l’invention des logarithmes a-t-elle contribué au développement de l’astronomie ? Bonjour, je m’appelle Laura et aujourd'hui je vais vous parler du lien entre les mathématiques et l’astronomie et on va plus précisément se pencher sur la question suivante : Comment l’invention des logarithmes a-t-elle contribué au développement de l’astronomie ? Commençons par un petit point historique en nous intéressant à ce qui a amené les astronomes à chercher un nouvel outil mathématique comme le logarithme. Lorsque l’on veut parler d’un calcul assez conséquent et compliqué on emploie souvent le terme “calcul astronomique” mais le choix de ce terme n’est pas innocent.

En effet, avant l’apparition des machines nous permettant de calculer plus rapidement, les mathématiciens et les astronomes faisaient tous leurs calculs à la main.

Ces calculs étaient d’autant plus importants en astronomie car on y calculait des distances, parfois très grandes, afin d’élaborer des éphémérides (tables astronomiques par laquelle on détermine pour chaque jour la valeur d’une grandeur caractéristique d’un objet céleste tel que la position des planètes par exemple).

Cela nécessitait alors la bonne maîtrise de la trigonométrie sphérique qui mettait en jeu des formules tel que : sina sinβ = sinb sinα cosa = cosb cosc + sinb sinc cosα et dont la mise en pratique nous amenait à calculer des multiplications, des divisions et à avoir recours aux tables trigonométriques. Ces calculs étant difficiles, les astronomes ont commencé à vouloir les simplifier, notamment par le biais de la prostaphérèse, un algorithme de calcul se basant sur les tables trigonométriques et permettant de calculer approximativement des multiplications et divisions de nombres avec beaucoup de chiffres. En effet, grâce à cet algorithme, les multiplications et divisions étaient simplifiés, on avait par exemple sinα sinβ = ½ [cos(α-β) - cos(α+β)] cosα cosβ = ½ [cos(α-β) + cos(α+β)] Cependant, les résultats de ces calculs restaient vagues, résultant des arrondis des tables trigonométriques et les calculs nécessitaient de travailler sur des nombres en écriture sexagésimale. C’est alors en 1614 que John Napier, connu en France comme Neper, développe l'idée de logarithme.

Le terme logarithme vient du grec logos qui signifie raison ou rapport et pouvant être associé à la géométrie et arithmos qui signifie nombre et est associé à l'arithmétique. Effectivement, Neper met en correspondance une suite de progression géométrique et une suite de progression arithmétique afin de pouvoir ensuite remplacer les multiplications par des sommes et les divisions par des différences.

Une des méthodes utilisée par Neper est de travailler cette correspondance avec une table des sinus mais pour que ça soit plus compréhensible je vais vous l’expliquer avec les suites suivantes : 1=10^0 →0 10=10^1 →1 100=10^2 →2 1000 = 10^3 → 3 … 10^n →n Un+1 = 10Un Un+1= Un + 1 La suite à gauche des flèches est une progression géométrique de raison 10 et celle à droite est une progression arithmétique de raison 1.

On peut alors associer les termes d’une suite aux termes de l’autre suite ici, on utilise le logarithme décimale : on a log(1)=0, log (10) = 1… Cette correspondance établie, Neper cherche à l’utiliser afin de remplacer les multiplications par des sommes et les divisions par des différences.

Reprenons l’exemple précédent du logarithme décimal : prenons alors log(10) + log(100) = 1+2 = 3 = log(1000) = log (10x100) Cette propriété est une propriété générale des logarithmes que l’on retrouve ici avec log(a) + log(b) = log(a*b).

L’exemple que j’ai utilisé est donc pour un logarithme de base 10 mais cette propriété dite merveilleuse fonctionne pour n’importe quel logarithme, notamment le logarithme népérien, nommé ainsi en hommage à Neper, qui lui est en base e (exponentielle) : ln(a) + ln(b) = ln(a*b). A l’aide de ses calculs, Neper écrit alors une table logarithmique qui s’utilise de la manière suivante : on souhaite par exemple faire le calcul a x b, on cherche alors dans la table le logarithme de a puis le logarithme de b, on additionne les deux et on cherche dans le tableau l’antilogarithme du résultat (c’est la valeur qui a pour logarithme le résultat que nous avons trouvé précédemment). En 1616, Henry Briggs, un mathématicien anglais, après des discussions avec Neper met en place ce qui se rapproche le plus du logarithme décimal que j’ai utilisé précédemment et écrit alors ses propres tables logarithmiques : il écrira alors ses tables pour tous les entiers allant de 1 à 20 000 et.... »