Chapitre 3 : Continuité et Théorème du Point Fixe Terminale - Spécialité Mathématiques

« Chapitre 3 : Continuité et Théorème du Point Fixe Terminale - Spécialité Mathématiques Table des matières 1 Limites de fonctions 1 1.1 Définitions et asymptotes .

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. 1 1.2 Opérations et théorèmes .

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. 2 1.3 Limites des fonctions de référence .

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. 3 1.4 Croissances comparées .

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. 3 2 Continuité 5 3 Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) 5 4 Application aux suites et théorème du point fixe 5 1 1.1 Limites de fonctions Définitions et asymptotes On étend la notion de limite, vue pour les suites, aux fonctions. Définition 1.1 (Limite en un point et à l’infini). — Limite finie en un point : On dit que f (x) tend vers L ∈ R quand x tend vers a ∈ R si les valeurs de f (x) deviennent aussi proches que l’on veut de L pourvu que x soit suffisamment proche de a.

On note limx→a f (x) = L. — Limite infinie en un point : On dit que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent arbitrairement grandes pourvu que x soit suffisamment proche de a.

On note limx→a f (x) = +∞. — Limite en l’infini : On définit de manière analogue les limites quand x tend vers +∞ ou −∞. 1 Définition 1.2 (Asymptotes). — Si limx→a f (x) = ±∞, la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe de f . — Si limx→±∞ f (x) = L, la droite d’équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe de f . 1.2 Opérations et théorèmes Limite d’une somme : lim(f + g) lim f (x) lim g(x) lim(f + g)(x) L L′ L + L′ L +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ FI Limite d’un produit : lim(f × g) lim f (x) lim g(x) lim(f g)(x) L L′ L × L′ L>0 +∞ +∞ L 0, on a x cos(x) 1 1 −1 ≤ cos(x) ≤ 1, donc − x ≤ x ≤ x .

Comme limx→+∞ − x1 = 0 et limx→+∞ x1 = 0, d’après le théorème d’encadrement, limx→+∞ f (x) = 0. Exercice 1.1.

Déterminer les limites suivantes : 2 1.

limx→+∞ (x3 − 2x2 + 5) 2.

limx→2,x>2 3x−1 2−x 3.

limx→+∞ 1.3 q 4x+1 x−3 Limites des fonctions de référence Propriété 1.1 (Limites en ±∞). — Fonctions polynômes : En +∞ ou en −∞, la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré. Exemple : limx→+∞ (−2x3 + 5x − 1) = limx→+∞ (−2x3 ) = −∞. — Fonctions exponentielles : lim ex = +∞ et x→+∞ lim ex = 0 x→−∞ — Fonctions puissances : Pour n ∈ N∗ : lim xn = +∞ x→+∞  +∞ si n est pair lim xn =  x→−∞ −∞ si n est impair 1.4 Croissances comparées Les théorèmes de croissances comparées permettent de lever des formes indéterminées en comparant la "force" des fonctions de référence à l’infini.

Intuitivement, l’exponentielle "l’emporte" toujours sur les puissances, qui elles-mêmes "l’emportent" toujours sur le logarithme. Théorème 1.3 (Croissances comparées en +∞).

Pour tout entier naturel n ≥ 1 : — Exponentielle vs Puissance : ex xn = +∞ et lim =0 x→+∞ xn x→+∞ ex Propriété 1.2 (Autres limites utiles).

Par changement de variable ou composition, on déduit d’autres limites importantes : — En −∞ pour l’exponentielle : limx→−∞ xn ex = 0. — En 0+ pour le logarithme : limx→0,x>0 xn ln(x) = 0. lim Exemple 1.2 (Application des croissances comparées). 1.

Calculer limx→+∞ (ex − x2 ). C’est une forme indéterminée "∞ − ∞".

On factorise par le terme le plus "fort" : x x 2 e −x =e x2 1− x e ! 2 On sait que limx→+∞ ex = +∞.

D’après les croissances comparées, limx→+∞ xex = 0.  2 Donc, limx→+∞ 1 − xex = 1.

Par produit des limites, limx→+∞ (ex − x2 ) = +∞. 3 x 2.

Calculer limx→+∞ 3e x−2x . 3 On sépare la fraction en deux : 3ex − 2x ex 2x ex 2 = 3 − = 3 − 2 3 3 3 3 x x x x x x D’après les croissances comparées, limx→+∞ xe 3 = +∞.

De plus, limx→+∞ x Par somme des limites, limx→+∞ 3e x−2x = +∞. 3 2 x2 = 0. Démonstrations des croissances comparées x Théorème 1.4 (Preuve de limx→+∞ ex = +∞).

Pour démontrer ce résultat fondamental, on utilise une fonction auxiliaire bien choisie. 2 Démonstration.

Soit la fonction g(x) = ex − x2 définie sur [0, +∞[.

Notre but est de montrer que ex grandit plus vite que n’importe quelle puissance de x, donc on essaie de la minorer par un polynôme qui tend vers +∞. On dérive la fonction g une première fois : g ′ (x) = ex − x Le signe n’est pas évident.

On dérive une seconde fois : g ′′ (x) = ex − 1 Pour tout x ∈ [0, +∞[, on a ex ≥ e0 = 1, donc.... »