suite.

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suite. n.f.
1. MATHÉMATIQUES :

fonction définie sur l'ensemble # des nombres entiers naturels. La valeur de u sur l'entier
naturel n se note un. On dit que n est l'indice et que un est le terme d'indice n. La suite u se
note encore (un).

Limite d'une suite.
On dit qu'une suite u est convergente s'il existe un nombre réel l tel que, pour tout
nombre réel strictement positif p, l'intervalle [l - p, l + p] contienne les termes de la suite
à partir d'un certain rang. Un tel nombre l est alors unique ; on l'appelle la limite de la
suite u et on note :
limun = l.
n®+¥
Une suite non convergente est dite divergente. Toute suite croissante et majorée est
convergente.
Les problèmes posés par l'étude des suites sont : le calcul de un en fonction de n ; la
détermination de la convergence (point de vue qualitatif) ; le calcul de la limite (point de
vue quantitatif). En général, la valeur exacte de l est inconnue. On doit se contenter de
valeurs approchées. La vitesse de convergence joue alors un rôle primordial.

Suites définies par une relation de récurrence.
Dans de nombreux problèmes, la suite u est définie par une relation de la forme :
un

+1

= f (un),

et par la donnée de la valeur initiale u0.On calcule alors les termes de proche en proche :
u1 = f (u0), u2 = f (u1), u3 = f (u2), etc.
Nous allons voir deux exemples fondamentaux.

Suite arithmétique.
Une suite arithmétique est une suite vérifiant une relation de récurrence de la forme :
un

+1

= un + b.

Le nombre b s'appelle « pas » de la suite.
Le terme général peut s'exprimer aisément en fonction de n :
un = u0 + nb.
Une telle suite diverge, la valeur absolue de un croissant indéfiniment.
La somme des premiers termes est :

Examinons le cas particulier où u0 = 0 et où b = 1. Alors un = n. Nous obtenons ainsi la
somme des n premiers entiers naturels :

Suite géométrique.
Une suite géométrique est une suite (un) vérifiant une relation de récurrence de la
forme :
un

+1

= aun,

avec u0 ¹ 0. Le nombre a s'appelle « raison » de la suite.
Le terme général s'exprime ici aussi de manière très simple en fonction de n :
un = anu0.
La suite (un) converge si et seulement si a appartient à l'intervalle ]- 1,1]. Plus
précisément, si - 1 < a < 1, la limite est 0 ; si a = 1, la suite u est constante, et sa
limite est u0.

Somme des premiers termes.

Il convient de distinguer deux cas :
Si a = 1,u0 + u1 +...+ un= (n + 1) u0.
Rappelons la légende du brahmane qui a inventé le jeu d'échecs, et qui a demandé
pour récompense un grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux grains sur la
deuxième case, quatre grains sur la troisième, en doublant à chaque fois jusqu'à la
64 e case. Le nombre total de grains de blé est la somme des premiers termes d'une
suite géométrique de raison 2, soit :
= 18 446 744 073 709 551 615.
Voir limite et réel (nombre).
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
continue (fonction)
convergente
croissante (fonction)
géométrique (suite)
limite
raison - 2.MATHÉMATIQUES
réel (nombre)
sommation [2] - 1.MATHÉMATIQUES

2. MUSIQUE :
genre instrumental formé d'une succession de pièces courtes et contrastées. Au XVe siècle,
on juxtaposait une danse lente de rythme binaire et une danse vive de rythme ternaire
(luth, clavier). Le nombre des morceaux augmentant, le genre s'élabora au XVIIe siècle
(Froberger), constitué de pièces bipartites (AABB) de même tonalité : allemande (lent),
courante (vif), sarabande (lent), gigue (vif). À ces danses pouvaient s'en ajouter d'autres
(gavotte, bourrée, menuet, etc.) ; l'ensemble s'ouvrait par un prélude écrit en style
improvisé. Au XVIIIe siècle, la variété des suites s'accrut, certaines étant parfois
descriptives (Couperin). Le genre s'étendit à d'autres instruments, avec Haendel
(orchestre) et Bach (violoncelle...), et connut alors son apogée. Puis les pièces de la suite
se modifièrent : présence de deux thèmes contrastés, amplification de la partie B qui
devient un développement, précédant une reprise de A. Ces éléments annonçaient la
forme sonate qui, au XIXe siècle, l'emporte sur la suite. Celle-ci renaquit au tournant du
siècle, juxtaposant des danses issues du folklore national (Dvo?ák) ou des pièces à
programme ou des extraits d'un opéra ou d'un ballet (Richard Strauss, Tchaïkovski, etc.).
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
allemande
Bach Johann Sebastian (ou Jean-Sébastien)
bourrée
courante
danse
Froberger Johann Jakob
gavotte
gigue
menuet
sarabande
Tchaïkovski Piotr Ilitch