RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Publié le 10/09/2022
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RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
I.
Activité :
Un escargot décide d’escalader un mur afin d’atteindre un balcon situé à plus de 4 mètres de haut (où il a
repéré des plantes).
Chaque jour, il grimpe 2 mètres, mais la nuit, il redescend de la moitié de la hauteur qu’il a atteinte.
Arrivera-t-il à atteindre ce balcon ?
1.
On note ℎ𝑛 la hauteur atteinte par l’escargot au cours de la n-ième journée (avant la nuit).
a.
Calculer ℎ1 , ℎ2 et ℎ3 .
b.
Montrer que ℎ4 < 4 .
c.
Peut-on en déduire que ℎ𝑛 < 4 pour tout entier 𝑛 ?
2.
Si l’on suppose que le 𝑛-ième jour ℎ𝑛 < 4 , montrer qu’il en est de même pour son successeur ℎ𝑛+1 .
3.
Conclure.
II.
Principe de récurrence :
Pour illustrer brièvement le principe de récurrence, on peut imaginer un escalier :
Si on peut accéder à une marche 𝑛0 (Initialisation)
et si l’on sait passer d’une marche à la suivante (Hérédité)
alors on peut accéder à toute marche au-dessus de 𝑛0 .
Principe de récurrence :
Si une propriété est vraie pour un entier naturel 𝒏𝟎 et s’il est prouvé que, lorsqu’elle est vraie pour
un entier 𝒏 supérieur ou égal à 𝒏𝟎 , elle est vraie pour l’entier suivant 𝒏 + 𝟏 , alors elle est vraie
pour tous les entiers supérieurs ou égaux à 𝒏𝟎 .
Une démonstration utilisant ce principe comporte 3 étapes :
On....
»
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