Raisonnement mathématique

« Raisonnement mathématique L'essentiel du cours Quantificateurs « Quel que soit » et « Il existe » • l'égalité (x + 2)(x -1) = x2 + x -2 est vraie quel que soit le nombre réel x, c'est · à-dire qu'en remplaçant x par n'importe quel nombre réel dans le membre de gauche et dans le membre de droite, on obtient le même résultat.

Pour le prouver, on développe le membre de gauche.

«Quelque soit» est un quantificateur universel.

• L'égalité x2 = 2X n'est pas vraie pour x = 4, mais elle est vraie pour x = 2.

On peut donc affirmer qu'il existe un nombre réel x tel que l'égalité soit vraie.

« Il existe» est un quantificateur existentiel.

• Ces quantificateurs sont souvent sous-entendus dans le langage courant.

« Condition nécessaire » et « condition suffisante » • Dans la déduction « Si le quadrilatère est un rectangle alors il possède deux angles droits», la proposition« il possède deux angles dro its» (Q) est une condi · tion nécessaire pour la proposition« le quadrilatère est un rectangle ».

• Elle n'est pas suffisante car un quadrilatère qui a deux angles droits peut être seulement un trapèze rectangle.

Pour que la condition soit suffisante il faut, par exemple , la propos ition« il possède quatre angles droits».

« Proposition réciproque » et « contraposée » • La proposition« Si ABC est un triangle rec tangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 » permet de calculer la mesure d'un côté d'un triangle rectangle connaissant la mesure des deux autres.

• Sa réciproque« Si BC2 = AB2 + AC2 alors ABC est un triangle rectangle en A» fournit un outil pour prouver qu'un triangle est rectangle.

• Sa contraposée « Si BC2 t AB2 + AC2 alors ABC n'est pas un triangle rectangle en A» permet d'établir, par un calcul, qu'un triangle n'est pas rectangle.

• L'énoncé réciproque de la propriété « Si P alors Q » est « Si Q alors P ».

Sa contraposée est« Si non Q alors non P ».

• Lorsque l'énoncé direct et l'énoncé réciproque sont vrais, on dit que les propo · sitions sont équivalentes.

Infirmer une propriété à l'aide d'un contre-exemple • L'én oncé« Pour entier naturel n on a (n + 2)2 = n2 + 4 » est faux.

On peut le prouver en remplaçant n par 1: (1 + 2)2 = 32 = 9 et 12 + 4 = 5- • Pour montrer qu'une propriété n'est pas toujours vraie, on montre à l'aide d'un contre-exemple qu'elle est fausse dans l'un des cas.. »