Mouvements et interactions Chapitre 10 : Ecoulement d’un fluide

« Mouvements et interactions Chapitre 10 : Ecoulement d’un fluide I) La poussée d’Archimède a) Origine de la poussée d’Archimède Tout objet plongé dans un fluide (un liquide ou un gaz), subit de la part de ce fluide des actions mécaniques qui agissent sur sa surface en contact avec le fluide.

Ces actions sont modélisées par des forces pressantes 𝐹⃗ dont la valeur F augmente avec la pression P du fluide (et l’aire S de la surface de l’objet) : F = P x S. Par ailleurs d’après la loi fondamentale de la statique des fluides (∆P = ρ x g x ∆z) la pression P exercée par un fluide augmente avec la profondeur d’immersion (figure 1 ci-contre). Ainsi les forces pressantes 𝐹⃗ qui modélisent les actions mécaniques du fluide sur la surface d’un objet immergé ne se compensent pas parfaitement : elles sont plus intenses sur le bas de l’objet que sur le haut.

Il en résulte une action mécanique modélisée par une force verticale orientée vers le haut : la poussée d’Archimède 𝜋 ⃗⃗ (figure 2). Figure 1.

zB < zA donc PB > PA.

La pression du fluide est plus importante en B qu’en A. Figure 2.

PB > PA donc FB > FA.

On peut donc modéliser la poussée d’Archimède par le vecteur 𝜋 ⃗⃗ = ∑𝐹⃗ b) Expression vectorielle de la poussée d’Archimède Tout corps immergé, tout ou en partie, dans un fluide, subit de la part du fluide des actions mécaniques modélisées par une force verticale, dirigée vers le haut et de valeur égale au poids du volume de fluide déplacé (figure 3). ⃗⃗⃗ est : L’expression de cette force nommée poussée d’Archimède 𝝅 ⃗⃗⃗ = −𝒎𝒇 × 𝒈 ⃗⃗⃗ = −𝝆𝒇 × 𝑽 × 𝒈 ⃗⃗⃗ 𝝅 Avec 𝜋 ⃗⃗ la poussée d’Archimède de valeur π (N) ; mf la masse du fluide déplacé (kg) ; 𝑔⃗ le champ de pesanteur terrestre d’intensité g (N.kg-1 ou m.s-2) ; ρf la masse volumique du fluide (kg.m-3) ; V le volume du fluide déplacé (m3). Page 1 sur 6 Mouvements et interactions Exemple : Une bille en acier (de volume V = 5,0 cm3 et de masse volumique ρFe = 7,8 x 103 kg.m-3) totalement immergée dans l’eau (ρeau = 1,0 x 103 kg.m-3) subit une poussée 𝜋 ⃗⃗ verticale dirigée vers le haut de valeur 𝜋 = 𝜌𝑓 × 𝑉 × 𝑔 𝜋 =1,0 x 103 x 5,0 x 10-6 x 9,8 = 4,9 x 102 N. Figure 3.

La poussée d’Archimède 𝜋 ⃗⃗ est responsable du poids ⃗⃗⃗⃗⃗ apparent 𝑃2 du corps immergé dans le fluide c) Exploitation de l’expression de la poussée d’Archimède La poussée d’Archimède 𝜋 ⃗⃗ a la même direction que le champ de pesanteur terrestre 𝑔⃗ mais est de sens opposé : il s’agit donc d’une force toujours verticale et orientée vers le haut.

Dans le champ de pesanteur 𝑔⃗ constant, sa valeur 𝜋 = 𝜌𝑓 × 𝑉 × 𝑔 dépend du volume V du corps immergé et de la masse volumique ρf du fluide.

La masse du corps, sa forme, son orientation dans le fluide et la profondeur d’immersion (pour un corps totalement immergé), n’influent pas sur sa valeur. Remarque : Plus le corps immergé est volumineux ou plus le fluide est dense (ou les deux à la fois) et plus la valeur de la poussée d’Archimède est grande. Les paramètres d’influence de la poussée d’Archimède sont largement mis en jeu en aéronautique, en plongée sous-marine ou encore dans la construction navale. Exemple : Les bateaux conçus de telle sorte que le pois du volume d’eau déplacé (donc la poussée d’Archimède) est toujours égal au poids du bateau (et son contenu). II) Ecoulement d’un fluide incompressible a) Régime permanent d’écoulement d’un fluide L’écoulement d’un fluide est modélisé par des lignes de courant.

Ces lignes représentent les trajectoires des particules du fluide en mouvement (figure 4). On dit qu’un fluide s’écoule en régime permanent (ou stationnaire) lorsque les lignes de courant n’évoluent pas au cours du temps : la vitesse 𝑣⃗ en un point quelconque du fluide conserve alors les mêmes caractéristiques au cours du temps. Exemple : Sur la figure 4 si ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝐴 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝐵 ne varient pas au cours du temps alors le régime est permanent.

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝐴 peut être différent de ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝐵 en direction et en valeur. Figure 4.

Modélisation de l’écoulement d’un fluide incompressible. Page 2 sur 6 Mouvements et interactions b) Débit volumique et vitesse d’un fluide incompressible Le débit volumique Q d’un fluide représente le volume de fluide qui traverse une section S du conduit par unité de temps (figure 5). 𝑽 𝑸= ∆𝒕 Avec Q le débit volumique (m3.s-1) ; V le volume de fluide écoulé (m3) ; ∆t la durée de l’écoulement (s). 7 Exemple : Chaque jour, la Seine rejette près de 40 x 10 m d’eau dans l’océan.

Son débit volumique moyen est : 𝑉 3 Figure 5.

Volume V et vitesse v d’un fluide traversant la section S d’un.... »