modélisation.

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modélisation. n.f. MATHÉMATIQUES : traduction d'un problème dans un langage
adapté à sa résolution. Quelle que soit leur origine (pratique ou spéculative) et quels
que soient les motivations et les objectifs de ceux qui les construisent, les
mathématiques produisent des théories. Et celles-ci ont des applications dans d'autres
disciplines ou dans la vie quotidienne. En fait, les théories mathématiques (ou certains
fragments de ces théories) se proposent comme modèle mathématique de certaines
« réalités ». Ainsi, lorsqu'un caillou tombe du haut d'un immeuble, on peut modéliser son
mouvement par une équation (liant sa hauteur h et le temps t écoulé depuis qu'il a été
lâché) fondée sur l'hypothèse que la dérivée seconde de h est égale à un nombre
constant ; le calcul différentiel permet l'écriture explicite de cette équation :

La mise en oeuvre d'outils et de techniques mathématiques permet alors d'obtenir
certains résultats relatifs au phénomène ou au processus modélisé ; ici, par exemple,
l'équation obtenue permet de calculer le temps nécessaire pour que le caillou arrive au
sol. Évidemment, les résultats obtenus sont des résultats « théoriques ».
Indépendamment même des approximations dues aux phénomènes secondaires que
l'on a décidé de négliger (résistance de l'air, variations locales de l'accélération de la
pesanteur, etc.), une modélisation est toujours un « pari » qui doit être validé par
l'expérience et dont la validité est d'ailleurs restreinte à un certain domaine de l'espace
et du temps.
La figure ci-dessus schématise le processus de modélisation d'une certaine réalité
localisée. On abstrait d'abord (en les choisissant « bien ») certaines caractéristiques du
morceau de réalité qui nous intéresse ; et on formalise ce morceau dans une théorie,
« bien choisie » elle aussi pour en être une « bonne » représentation. Dans le cadre de
cette théorie, on développe un discours mathématique, donc cohérent, qui permet
d'aboutir, après calculs et raisonnements, à des conclusions et résultats « théoriques ».
On traduit alors les résultats théoriques en termes concrets et on vérifie, par des
tests, des mesures, des expériences, que ces résultats ont bien un sens et cadrent
« bien » avec la réalité dont on est parti. C'est cette dialectique de retour à la réalité qui
permet de préciser le domaine de validité du modèle théorique.
Car il y a, en effet, deux « garde-fous » essentiels au bon usage de la modélisation.
D'abord, un modèle est toujours « local » ; le fait qu'il soit possible de décalquer la
théorie sur la réalité est toujours limité à certaines valeurs, à certaines périodes, à
certains lieux. Prenons un exemple simple mais significatif : le prix d'une chose est
proportionnel à sa quantité, mais cette proportionnalité est limitée pour des raisons

diverses ; par exemple, beaucoup de choses coûtent en général moins cher à l'unité que
peu de choses.
Ensuite, les théories sont en concurrence les unes avec les autres ; ainsi, les
mathématiques ne proposent pas « une » vérité : telle ou telle théorie (en contradiction
l'une avec l'autre) peut être choisie. En revanche, les mathématiques proposent des
conséquences logiques suivant nécessairement les hypothèses « abstraites » ; c'est à
celui qui a voulu les utiliser d'en tirer les conséquences « pratiques ». Le choix d'un
modèle théorique est affaire d'expérience et de bon sens : si l'on travaille sur une feuille
de papier avec une règle et un compas, on a généralement intérêt à modéliser son
activité par la géométrie euclidienne plane. Si, a contrario, on étudie les trajets optimaux
des avions long-courriers joignant les grandes capitales de notre Terre, on a alors
intérêt à modéliser la situation par une géométrie non euclidienne (où, en particulier,
deux perpendiculaires à une même trajectoire « droite » se coupent quelque part !).

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modélisation, page 3235, volume 6