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« Chapitre III : Dérivation 1 Fonctions dérivables 1.1 Nombre dérivé, fonction dérivée Définition : fest une fonction définie sur un intervalleI etaest un réel deI. fest dérivable enasi et seulement si l’une ou l’autre des deux propositions équivalentes est réalisée : –lafonctionh
−→f(a+h)−f(a) ha une limite finielen 0, ou encore que la fonctionx
−→f(x)−f(a) x−aa pour limitelquandxtend versa. –pourtoutréelhtel quea+h∈I,f(a+h)=f(a)+hl+hε(h) aveclim h→0 ε(h)=0. Le nombrelestappelénombredérivédelafonctionfena. Remarques : –Lenombref(a+h)−f(a) h(h =0) est appelé taux de variation defentreaeta+h. –SoitA(a;f(a))etM(a+h;f(a+h)),f(a+h)−f(a) h(h =0) est le coefficient directeur de la droite (AM). Le nombre dérivé defenaest notéf (a). Lorsque la fonctionfadmet un nombre dérivé ena,onditquefest dérivable ena. Lorsquefest dérivable en tout point d’un intervalleIinclus dans le domaine de définition def,onditque fest dérivable surI. Définition : fest une fonction dérivable sur un intervalleI.

La fonction dérivée defsurIest la fonctionf  qui à toutadansIassocief (a). 1.2 tangente et approximation affine locale •Cest la courbe représentative defdans un repère. Une équation de la tangenteTàCau pointAd’abscisseaest : y=f (a)(x−a)+f(a) •Pour tout réelhtel quea+h∈I, f(a+h)=f(a)+f (a)h+hε(h)etlim h→0 ε(h)=0 f(a)+f (a)hest l’approximation affine def(a+h)pourhproche de 0, associée àf. Exemple : fest la fonction définie sur[−1; 1]parf(x)=√ 1−x 2. La fonctionfest-elle dérivable en -1 ? en 0 ? Solution Pour0. »