LOGARITHMES EXPONENTIELLES

« • • ::::1 QUESTIONS DE COURS LOGARITHMES EXPONENTIELLES .: Les « calculs astronomiques » auxquels devaient se livrer les • E astronomes des XVI e et XV/l e siècles on( été à l'origine du développement 5 d'un fantastique outil de calcul. i Les logarithmes permettaient de remplacer les multiplications par des additions.

La fonction �fRBkUtSbM népérien est la primitive de la fonction (xi-+} ) , définie sur )0, + oo [ qui s'annu�M pour x = 1. C'est-à-dire que �fd a : Jx1 �n X= -d t. 1 t .

1 On a donc, pour toutx de ]O, + oo [, (�d x)' = - , et ln 1 = O. X De p�wq la fonction logarithme népérien, étant dérivab�M sur ]O, + oo [, est continue sur cet intervalle.

Que�q que soient les réels strictement positifs a et b, et quel que soit le nombre rationnel a, on a : 1 �d ab= ln a+ �d b; ln - = - �d a; a ln Ê = ln a- �d b; �d (aa ) = a ln a. La fonction �fRBkUtSbM népérien réalise une bijection de ]O, + oo [ sur R.

Tout nombre réel est donc �UbBRM par �a fonction �fRBkUtSbM népérien d'un unique nombre réel stric­ tement positif.

En particulier, �M nombre dont le logarithme vaut 1 est noté e.

Une valeur approchée de ce nombre est e ...

2,718 . D'autre part, que�q que soient les réels strictement positifs a et b, �d a= �d b si et seulement si a= b.

Il faut bien connaître les résultats ci-dessous sur les limites : Hm On x) = - oo; Hm On x) = + oo; Hm ( lnx ) = O. X➔+OO X Le tableau de variations de la fonction �fRBkUtSbM népérien est �M suivant : X 0 e +oo f(x)=lnx -IX) la courbe représentative de la fonction �fRBlTtSbM népérien admet au point de coordonnées (1, 0) une tangente de coefficient directeur 1, et au point de coordonnées (1, e) une tangente dont le coefficient directeur est ! , et qui passe e donc par �fkTRTdM du repère. y. »