grand oral maths: les sondages

« T e ch niq uem ent, le s s o ndages c o nsis te nt à in te rro ger u n é ch antillo n, c ’e st à d ir e u n g ro upe d ’in div id us r e pré se nta tif d e la p opula tio n p our a vo ir u ne a ppro xim atio n d e l’a vis d e l ’e nse m ble d e c e tte p opula tio n.

P our c o nstr u ir e u n é ch antillo n r e pré se nta tif , le s s ta tis tic ie ns u tilis e nt m ajo rit a ir e m ent d eux m éth odes: la m éth ode a lé ato ir e s im ple q ui c o nsis te à s é le ctio nner u ne p artie d e la p opula tio n a u h asa rd , t o us le s in div id us d e c e tte p opula tio n o nt l a m êm e p ro babilit é d e fa ir e p artie d e l’é ch antillo n. O u ils u tilis e nt la m éth ode d es q uota s q ui c o nsis te à s é le ctio nner d es in div id us, e nvir o n 1 000 o u 2 000 s e lo n c e rta in es c a ra cté ris tiq ues c o m me le g enre , â ge, m étie r, r e lig io n, p ou r q ue c h aque c a té gorie s o it r e pré se nté e à h aute ur d e s a p ro portio n r é elle d ans la p opula tio n. C ependant, le s r é su lt a ts d e c e s é ch antill o ns n e s o nt p as e ntiè re m ent fia ble s p uis q u’il n ’y a q ue c e rta in s in div id us q ui s o nt in te rro gés e t c e n e s o nt q ue d es e stim atio ns.

A fin d e m esu re r l a fia bilit é d es e stim atio ns o bte nues, le s s ta tis tic ie ns u tilis e nt la m arg e d ’e rre ur.

P our c a lc u le r u ne m arg e d ’e rre ur, il fa ut c o nnaîtr e la ta ille d e l a p opula tio n é tu dié e, la ta ille d e l'é ch antillo n, a in si q ue le n iv e au d e c o nfia nce .

L e n iv e au d e c o nfia nce l e p lu s u tilis é é ta nt c e lu i à 9 5% . C ’e st u n in te rv a lle a uto ur d e l’e stim atio n d ans le quel o n a 9 5% d e c h ance s d ’a vo ir la v ra ie v a le ur.

P re nons u n e xe m ple , s i o n c h erc h e à s a vo ir q uel p ourc e nta ge d es v o te s o btie ndra u n c a ndid at à u ne é le ctio n.

O n in te rro ge 1 0 13 in div id us e t o n o btie nt u ne e stim atio n p d e 4 7% d 'i n te ntio ns d e v o te p our c e c a ndid a t.

O n a d onc n , ta ille d e l'é ch antillo n é gale 1 013 e t p é gale 0 ,4 7.

O n d oit d ’a bord c a lc u le r l’e rre ur ty p e q ui m esu re le d egré d e d is p ers io n d es é ch antillo ns a uto ur d e le ur v a le ur m oye nne .

P ou r c e la , o n c a lc u le d ’a bord le p ro duit d es d eux p ro portio ns ( c e lle d e la c a té gorie q ui n ous in té re sse e t c e lle d es a utr e s c a té gorie s r é unie s), d onc p m ult ip lié p ar 1 -p .

A ve c n otr e e xe m ple , o n a d onc 0 ,4 7 m ult ip lié p ar 1 -0 ,4 7 s o it 0 ,5 3.

P our fin ir , o n d iv is e le r é su lt a t o b te nu p ar le n om bre d ’é lé m ents d ans l’é ch antill o n, s o it 1 013.

O n c a lc u le la r a cin e c a rré e d u r é su lt a t o bte nu.

A l'i s su e d e c e c a lc u l, o n o btie nt e nvir o n 0 ,0 16.

P uis , p our o bte nir la m arg e d 'e rre ur, o n m ult ip lie s im ple m ent l'e rre ur-ty p e p ar u ne v a le ur s ta ndard q u’o n a ppelle le « z -s co re » . I l d ésig ne le n om bre d 'é ca rts -ty p es q ui s e t r o uve a u-d essu s o u e n d esso us d e la m oye nne d e la p opula tio n.

P our u n n iv e au d e c o nfia nce à 9 5% , le z s co re e st d e 1 ,9 6.

D onc, o n m ult ip lie 0 ,0 16 p ar 1 ,9 6 e t o n o btie nt e nvir o n 0 ,0 3, s o it 3 % .

P ar c o nsé quent, la m arg e d ’e rre ur d e n otr e e xe m ple s ’é lè ve à 3 % . C ela s ig nif ie q ue l'o n e st c e rta in à 9 5% q ue le c a ndid at A o btie ndra e ntr e 4 4 % e t 5 0 % d es v o te s.

( 3 % a u-d essu s e t e n d esso us d e 4 7% ). I l e st e sse ntie l d e s a vo ir q ue p lu s u n é ch an tillo n e st g ra nd, p lu s la m arg e d ’e rre ur e st fa ib le e t p lu s l’e stim atio n e st fia ble .

P our p ro uve r m on p ro pos, il fa ut s 'i n té re sse r à la lo i d es g ra nds n om bre s.

C ’e st s u r c e tte lo i q ue r e p ose nt la p lu part d es s o ndages.

E lle tr a duit le fa it q ue p lu s la ta ille d e l’é ch antillo n d ’u ne v a ria ble a lé ato ir e �� e st g ra nde, p lu s l’é ca rt e ntr e la m oye nne d e c e t é ch antillo n e t l’e sp éra n ce d e la v a ria ble a lé ato ir e �� e st fa ib le .

P re nons l 'e xe m ple d 'u ne s u it e d e v a ria ble s a lé ato ir e s d e B ern o ulli d e p ara m ètr e 1 /6 .

O n p eut p ar e xe m ple im agin er q ue l'o n r é alis e u ne s é rie d e la nce rs a ve c u n d é n on tr u qué e t q ue ( X n) e st u ne s u it e d e v a ria ble s a lé ato ir e s q ui p re n nent l a v a le ur 1 lo rs q ue l'o n o btie nt u n 6 e t la v a le ur 0 lo rs q ue l'o n o btie nt u n a utr e n om bre .

C es v a ria ble s a lé ato ir e s o nt to ute s p our e sp éra nce 1 /6 e t p our v a ria nce 0 , p uis q u 'e lle s s u iv e nt t o ute s u ne lo i d e B ern oulli d e p ara m ètr e 1 /6 .

S elo n la lo i d es g ra nds n o m bre s, s i o n fa it u n g ra nd n om bre d e la nce rs , e t q ue l'o n c a lc u le la m oye nne d es v a le urs d es v a ria ble s a lé ato ir e s q ui to ur à to ur p re ndro nt la v a le ur 0 o u 1 , a lo rs la p ro babilit é q ue la m oye nne d e c e s v a le urs , c 'e st- à -d ir e la m oye nne d e c e s 0 e t 1 , s 'é lo ig ne d e 1 /6 te nd v e rs O , lo rs q u e l e n om bre d e la nce rs te nd v e rs l'i n fin i.. »