grand oral math: Comment les mathématiques ont-elles sauvé l’ISS?

« Note Oral Blanc: 20/20 Bonjour à vous, aujourd’hui je viens vous apporter une nouvelle terrible, terrible c’est le mot car… En ce moment même à 400km au-dessus de notre tête, l’ISS est en danger! Une fuite d’oxygène serait apparue dans la coque de la station spatiale en ce moment même!!!..

La Nasa à pris la décision d’envoyer ses meilleurs mathématiciens sur le coup, ils se nomment Hélène(Ln), Blaise Binomial et Isaac Intégral! Ces fidèles cosmonautes nous aideront à répondre à cette problématique: Comment les mathématiques ont-elles sauvé l’ISS? Tout d’abord nous étudierons l’utilisation des fonctions logarithme népérien , pour ensuite comprendre le sauvetage à l’aide de probabilités pour enfin étudier le système à l'aide intégrale. Bien, il est actuellement (heure exacte) notre équipage est déjà arrivé sur place. Partie 1 : Hélène et la Loi Exponentielle – Le temps avant la crise Il est temps de constater les dégâts maintenant! Et la commandante en chef Hélène est sur le coup car elle souhaite savoir combien de temps ils leur restent pour travailler sur la fuite avant d'atteindre un seuil critique d’oxygène! Cela tombe bien car Hélène connaît la formule qui représente cette situation vous la trouverez en −𝑘𝑡 haut à gauche de la feuille: O2(t)=O2(0)𝑒 Cette formule suit une loi exponentielle: c'est-à- dire qu’elle est caractérisée par une variable (ici, le temps t et k qui est le taux de fuite) en exposant de notre exponentielle. Dans le cas de la fuite d’oxygène, elle modélise une diminution continue et proportionnelle à la quantité restante : plus l’oxygène diminue, plus la vitesse de fuite ralentit.

C’est typique des phénomènes de fuites dans l’espace ! Et Hélène nous sera très pratique car comme vous avez surement compris le jeu de mot: helene représente Le logarithme népérien, noté ln qui permet de "défaire" l’exponentielle, elle est en quelque sorte son inverse, je peux ainsi calculer le temps avant la panne totale. Mais avant ça il faut savoir les données essentiels pour notre fonction qui sont en partant des données chiffrées de l’ISS :​ ●​ Volume total d’oxygène de la station(21%gaz tot) : 81 480 litres.​ ●​ Seuil critique à 19 % d’oxygène, soit 73720 litres d’oxygène. ●​ Le taux de fuite est égale à (5%) −0.05𝑡 73720=81480⋅𝑒 73720 81 840 ln( =𝑒−0.05𝑡 73720 81 840 )=⋅-0.05t t≈−20⋅ln(0,929) t≈−20⋅(−0,074)=2 heures soit Partie 2 : Blaise Binomial et les Probabilités – Optimiser les Réparations Maintenant nous devons nous attaquer aux problèmes majeurs et le temps presse. Il faut reboucher le trou et cela demande une opération extérieure de la part de nos cosmonautes,la nasa a un projet de faire 2 expédition de 50 minutes chacune avec une probabilités de 40% de réussite or ici Blaise Binomiale le probabiliste de la bande s'inquiète car il propose à la place de faire 5 expédition de 20 minutes chacune avec 25% de chance de réussite et il veut prouver que sa solution est la meilleur! Il fait alors un constat simple sur la proposition de la Nasa où l'on répète ici donc 2 fois de façon identiques et indépendantes une épreuve de bernoulli c’est à dire une probabilités/une expérience aléatoire qui ne peut donner que deux résultats : un succès ou un échec..

On nomme une variable: x par exemple, qui compte le nombre de succès dans notre cas il s’agit de “réparer la station” on dit alors que x suit une loi binomiale de succès(0.4) et de répétitions(2) cela veut dire qu’on aura toujours 40 pourcent de chance de réussite à chaque expédition.

Et cette loi elle est inscrite sur votre feuille en haut à droite de votre feuille et ça tombe bien notre ami Blaise Binomial en est un expert (vous avez compris à nouveau le jeu de mot! Donc on a une loi binomial de la nasa de succès(0,4 avec 2 répétitions) et une autre celle proposer par blaise binomial qui est de succ”s(0,25 et de 5 répétitions) Maintenant calculons pour voir la qu’elle a le plus de chance de réussite. La probabilité.... »