GRAND ORAL – Comment les équations de la physique et les modèles mathématiques permettent-ils de prévoir la météo ?

« GRAND ORAL – Comment les équations de la physique et les modèles mathématiques permettent-ils de prévoir la météo ? Introduction La météorologie est la science qui étudie les phénomènes atmosphériques dans le but de prévoir l’évolution du temps.

Pour comprendre et anticiper les comportements de l’atmosphère, les scientifiques ont recours à des outils issus de la physique et des mathématiques.

L’atmosphère terrestre, principalement constituée d’azote et d’oxygène, peut être modélisée comme un gaz parfait, ce qui simplifie l’analyse de ses propriétés thermodynamiques.

En mécanique des fluides, l’air est considéré comme un fluide compressible, soumis à des paramètres dynamiques tels que la pression, la température ou encore la densité. La loi des gaz parfaits, exprimée par l’équation PV = nRT, permet de relier ces grandeurs et joue un rôle central dans la compréhension des variations de l’air dans l’atmosphère.

Ces principes sont à la base de la modélisation numérique du temps, qui consiste à simuler l’évolution de l’atmosphère à partir de son état actuel. Une prévision météorologique repose ainsi sur quatre étapes fondamentales : l’observation, l’assimilation des données pour établir une image fidèle de l’état de l’atmosphère, la simulation de son évolution à l’aide de modèles mathématiques, et enfin l’interprétation des résultats par les prévisionnistes. Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur l’aspect dynamique de l’atmosphère qui permet d’expliquer les déplacements des masse d’air et le vent et nous n’aborderons pas l’aspect thermodynamique nous verrons d’abord comment les équations de la physique, en particulier les équations différentielles, permettent de modéliser les dynamiques atmosphériques. Nous étudierons ensuite comment les outils statistiques permettent d’estimer les incertitudes liées aux prévisions, avant de nous intéresser à un cas concret : le modèle AROME développé par Météo-France. Partie I- Modéliser les dynamiques atmosphériques par des équations différentielles I.

Étude des fluides et équations différentielles La météo repose d’abord sur une compréhension des mouvements de l’air, c’està-dire du comportement des fluides.

L’air est un fluide compressible et visqueux, dont la dynamique est modélisée par des équations différentielles issues de la physique. Ces équations permettent de prévoir l’évolution des grandeurs physiques comme la pression, la température, ou encore la vitesse du vent, à partir d’un état initial. Les phénomènes atmosphériques sont des processus dynamiques, complexes et en perpétuelle évolution.

Pour les comprendre, les modéliser et surtout les prévoir, il faut pouvoir exprimer comment les grandeurs physiques (vitesse, pression, température, etc.) évoluent dans le temps et l’espace.

C’est exactement ce que permettent les équations différentielles, et plus précisément les équations différentielles partielles (EDP). L’atmosphère est un fluide compressible, en mouvement sous l’effet de nombreuses forces (gravité, pression, force de Coriolis liée à la rotation de la Terre, frottements...).

Ces mouvements obéissent aux lois de la mécanique des fluides, qui sont exprimées sous forme d’équations différentielles.

Par exemple :  L’équation de Navier-Stokes qu’on expliquera plus en détail juste après. Ces lois s’appliquent en tout point de l’atmosphère, ce qui implique de raisonner sur des fonctions dépendant du temps et de l’espace → d’où l’usage des équations différentielles partielles. Examinons maintenant un peu plus en profondeur l’une des équations les plus importantes en mécanique des fluides atmosphériques : l’équation de NavierStokes. II.

L'équation de Navier-Stokes Au XVIIIe siècle, les premières modélisations de l'atmosphère, dues à Leonhard Euler ou Jean le Rond D'Alembert, sont incomplètes.

Un siècle plus tard, le Français Henri Navier et le Britannique George Stokes obtiennent des équations pertinentes en ajoutant à celles d'Euler et de D'Alembert un terme correspondant à la viscosité du fluide (une sorte de frottement).

Ces équations de NavierStokes décrivent tous les phénomènes apparaissant dans les mouvements des fluides. L’équation de Navier-Stokes est fondamentale en météorologie.

Il s’agit d’un système équation différentielle vectorielle qui décrit le mouvement des fluides. Elle repose sur trois grands principes :  La conservation de la masse (équation de continuité),  La seconde loi de Newtown,  La conservation de l’énergie. Pour les fluides compressibles tel que l’air, il est nécessaire d’introduire une équation d’état qui relie la pression, la densité et la température.

C’est l’équation des gaz parfait PV=nRT. Cependant cette équation est une première approximation, il convient ensuite de prendre en compte le caractère visqueux de l’air pour affiné les résultats des prévisions. Ces équations, en raison de leur caractère non linéaire et de leur complexité, ne peuvent pas être résolues à la main.

L'inconnue principale est le champ de vitesse du fluide, dont le comportement reste encore aujourd’hui un défi mathématique majeur — à tel point qu’il figure parmi les problèmes du millénaire posés par le Clay Mathematics Institute.

On les résout de façon approchée, grâce à des algorithmes numériques, sur des grilles de calcul et des superordinateurs. En météorologie, l’équation de Navier-Stokes est fondamentale pour modéliser le déplacement des masses d’air, les vents et les courants atmosphériques. En effet, pour rendre compte de ces phénomènes, il est nécessaire de considérer diverses forces comme les poussées, les frottements, les turbulences, ainsi que la température.

Toutes ces forces interagissent et s’expriment dans les équations. Si l'équation de Navier-Stokes permet de modéliser les mouvements de l'atmosphère, l'équation de Lorenz, quant à elle, met en lumière l'aspect chaotique et la sensibilité aux conditions initiales dans les prévisions météorologiques.

C’est ce que nous allons voir maintenant. III.

L’équation de Lorenz En 1963, le météorologue et mathématicien Edward Lorenz crée un modèle simplifié pour comprendre les mouvements de convection dans l’atmosphère et a montré que la météo est un système chaotique mais déterministe. Il a proposé un système d’équations différentielles à trois variables :  x : intensité du mouvement de convection  y : gradient horizontal de température  z : gradient vertical de température Qui sont fonction de :  σ : nombre de Prandtl (viscosité/chaleur)  r : nombre de Rayleigh réduit lié au transfert de chaleur  b : paramètre lié à la taille du système Cette modélisation permet de montrer que même avec des équations simples, de petites variations des conditions initiales (ex.

: température de départ) peuvent entraîner des évolutions très différentes.

Le système est déterministe (pas aléatoire), mais imprévisible à long terme : on parle de sensibilité aux conditions initiales. C’est ce qui a donné naissance à l’idée de l’« effet papillon » : le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? Cela illustre le fait qu’une toute petite différence au départ peut mener à une évolution totalement différente du système. Partie II – Probabilités et incertitudes I.

Prévisions probabilistes et incertitude Comme les équations différentielles utilisées en météorologie sont très sensibles aux conditions initiales, les prévisionnistes s’appuient aussi sur les outils statistiques pour mieux gérer l’incertitude.  Une prévision déterministe propose un seul scénario, basé sur une unique simulation.  Une prévision probabiliste, en revanche, repose sur plusieurs simulations issues de conditions initiales légèrement modifiées.

On obtient ainsi une probabilité pour qu’un événement se produise (par exemple, 80 % de chance de pluie). On parle alors de prévisions d’ensemble.

Cette approche permet de quantifier l’incertitude au lieu de l’ignorer. Un concept clé ici est celui de variable aléatoire, qui permet d’associer à chaque événement météorologique (comme "pleuvoir demain") une valeur numérique aléatoire (0 = non, 1 = oui), facilitant les calculs de probabilités. Par exemple, la loi binomiale peut être utilisée pour estimer la probabilité de plusieurs jours consécutifs de pluie, en modélisant chaque jour comme une épreuve de Bernoulli (succès = il pleut, échec = il ne pleut pas). Parmi les outils statistiques utilisés :  Les chaînes de Markov, où la probabilité d’un événement futur dépend uniquement de l’état actuel.

En météo, cela signifie que la prévision pour demain dépend principalement du temps qu’il fait aujourd’hui.  La méthode de Monte Carlo, qui consiste à générer un grand nombre de scénarios aléatoires pour explorer les évolutions possibles de l’atmosphère.

Chaque simulation représente un scénario plausible.

On estime ensuite les probabilités à partir du nombre de cas où un événement (comme la pluie) se produit. Ces méthodes n’offrent pas une certitude absolue, mais elles fournissent un degré de confiance.

Par exemple, dire qu’il y a 80 % de chances de pluie signifie que, sur 10 scénarios, la pluie apparaît dans 8 d’entre eux. Cas concret : prévision d’un ouragan La prévision des ouragans illustre bien l’intérêt de ces approches.

Les météorologues utilisent divers modèles numériques pour simuler l’atmosphère, puis génèrent une distribution de scénarios avec la méthode de Monte Carlo. Cela permet d’évaluer la probabilité d’évolution de la trajectoire et de l’intensité de l’ouragan. Par exemple, les résultats peuvent indiquer :  70 % de chances que l’ouragan atteigne la catégorie 3,.... »