Flocon de von koch

« Introduction : Quand l’infini surgit du fini Comment peut-on construire une figure dont le contour devient infini, tout en restant enfermée dans une surface bornée ? Ce paradoxe, à la fois simple et vertigineux, met à mal notre compréhension intuitive des mesures géométriques. Et pourtant, il ne relève pas d’une expérience de pensée abstraite : il prend forme dans une figure étonnamment concrète, née de la répétition d’un motif élémentaire — le flocon de Von Koch. C’est au début du XXe siècle que Helge von Koch, mathématicien suédois influencé par les travaux de Cantor, introduit cette courbe révolutionnaire.

À travers elle, il ne cherche pas seulement à explorer l’infini, mais à illustrer qu’une fonction continue peut ne jamais être dérivable, remettant en cause les fondements de la géométrie classique.

Son travail s’inscrit dans une époque où les mathématiciens commencent à repenser les notions de forme, de mesure et de dimension. Aujourd’hui, ce flocon n’est plus seulement un objet de curiosité mathématique. Il constitue une porte d’entrée vers le monde des fractales, ces formes autosimilaires qui révèlent leur complexité à toutes les échelles.

Il éclaire non seulement les paradoxes mathématiques, mais aussi des phénomènes très concrets, comme la forme des littoraux ou la modélisation des paysages. En quoi les mathématiques, à travers une figure aussi surprenante que le flocon de Von Koch, nous amènent-elles à revoir notre perception du monde réel et à décrypter les formes complexes qui structurent la nature ? Nous explorerons ensemble cette figure à travers trois grands axes : -Une géométrie paradoxale : construction, périmètre infini et aire finie -Du flocon aux côtes : la nature fractale du monde réel -Entre science et application : dimensions fractales et implications concrètes I.

Une géométrie paradoxale : construction, périmètre infini et aire finie Le flocon de Von Koch naît d’un simple triangle équilatéral.

À chaque étape de construction, on applique un procédé itératif : On divise chaque segment en trois parties égales. On remplace le segment central par deux segments formant un triangle équilatéral pointant vers l’extérieur. On supprime la base de ce nouveau triangle. Ainsi, à chaque itération, le nombre de segments est multiplié par 4, tandis que leur longueur est divisée par 3.

On peut décrire cette évolution par deux formules :  Nombre de segments à l’étape n : Cn=3×4^n  Longueur d’un segment à l’étape n : Ln= (1/3) ^n Le périmètre total devient alors : Pn=Cn×Ln= 3×4^n x (1/3)^n=3 x (4/3) ^n Ce périmètre tend vers l’infini lorsque n tend vers l’infini.

Pourtant, l’aire totale, elle, reste finie.

En effet, à chaque étape, les triangles ajoutés contribuent de moins en moins à l’aire totale.

Cette aire converge alors vers une valeur finie, que l’on peut calculer en utilisant une série géométrique (une somme de termes successifs). Ce paradoxe remet en cause notre perception des objets géométriques.

Il met en lumière la limite de la géométrie euclidienne pour décrire des formes complexes. La courbe se développe sans jamais admettre de tangente, rendant impossible l’application de la dérivée en raison de son irrégularité omniprésente à toutes les échelles. II.

Du flocon aux côtes : la nature fractale du monde réel Le flocon de Von Koch ne se limite pas à un exercice mathématique.

Il trouve des échos surprenants dans la nature, notamment dans la forme des littoraux. Mesurer la longueur d’une côte semble, à première vue, une tâche simple.

Mais en y regardant de plus près, on découvre que plus on affine la mesure, plus la côte semble s’allonger.

Pourquoi ? Ce phénomène a été étudié dès le milieu du XXe siècle par le mathématicien et physicien Lewis Fry Richardson.

En mesurant les côtes britanniques avec différentes unités, il constata que la longueur mesurée augmentait à mesure que la taille de l’unité diminuait.

Ce paradoxe est aujourd’hui connu sous le nom de paradoxe du littoral (l'observation contre-intuitive que le littoral d'une masse continentale n'a pas de longueur définie).

Cela révèle une propriété essentielle : les côtes ne sont pas lisses, mais irrégulières à toutes les échelles, comme le flocon. Cette autosimilarité observable dans la nature correspond à la définition des fractales, un concept qui sera formalisé et popularisé au XXe siècle par le mathématicien Benoît Mandelbrot.

D'origine franco-polonaise, Mandelbrot a profondément transformé notre compréhension des formes irrégulières qui structurent le monde qui nous entoure.

Dans les années 1970, alors qu’il travaille chez IBM, il développe une théorie qui permet de modéliser des objets jusqu’alors considérés comme trop complexes ou chaotiques pour être.... »