Décrire un mouvement

« Chapitre 1.1: Décrire un mouvement Thème 1: Mouvement et interactions Capacités exigibles: ✓ Citer et exploiter les expressions des coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet, dans le cas d’un mouvement circulaire. ✓ Caractériser le vecteur accélération pour les mouvements suivants : rectiligne, rectiligne uniforme, rectiligne uniformément accéléré, circulaire, circulaire uniforme. ✓ Réaliser et/ou exploiter une vidéo ou une chronophotographie pour déterminer les coordonnées du vecteur position en fonction du temps et en déduire les coordonnées approchées ou les représentations des vecteurs vitesse et accélération. ✓ Capacité numérique : Représenter des vecteurs accélération d’un point lors d’un mouvement à l’aide d’un langage de programmation. ✓ Capacité mathématique : Dériver une fonction. Chap1.1: Décrire un mouvement I/ Vecteurs position, vitesse et accélération d’un point On se limite ici à l’étude d’un mouvement plan d’un point M d’un système dans un référentiel donné. 1.1 Vecteur position A l’aide du repère orthonormé (O, Ԧi, Ԧj ), on repère la position d’un point M par le vecteur position OM(t).

Ce vecteur et ses coordonnées dépendent du temps t si le système n’est pas immobile. x(t) OM(t) y(t) Les expressions de x et y en fonction du temps t sont appelées les équations horaires de la position. Chap1.1: Décrire un mouvement 1.2 Vecteur vitesse Le vecteur vitesse moyenne vi = Mi Mi+1 ti+1 −ti (∆OM)i→i+1 s’écrit aussi vi = ∆t car Mi Mi+1 = Mi O + OMi+1 = OMi+1 - OMi = (∆OM)i→i+1 Le vecteur vitesse d’un point en une position Mi est la limite de (∆OM)i→i+1 vi = lorsque ∆t tend vers zéro. ∆t Cette limite est la dérivée par rapport au temps du vecteur position à (∆OM)i→i+1 dOM l’instant ti: lim =( )t ∆t dt ∆t→0 Chap1.1: Décrire un mouvement Le vecteur vitesse v(t) est la dérivée du vecteur position OM(t) par rapport au temps t. dOM v(t) = ( )t de coordonnées dt dx(t) vx(t) = dt vy(t) = dy(t) dt ou plus simplement vx = dx dt dy vy = dt Sa norme est v(t) = v(t) = vx2 + vy2 Les expressions de vx et vy en fonction du temps t sont appelées les équations horaires de la vitesse. Chap1.1: Décrire un mouvement 1.3 Vecteur accélération Le vecteur accélération caractérise la variation du vecteur vitesse en fonction du temps. Par analogie avec le vecteur vitesse, on peut déterminer le vecteur accélération a t comme la dérivée du vecteur vitesse v(t) par rapport au temps: dv(t) a t = dt dOM(t) Comme v t = , le vecteur accélération est la dérivée seconde du dt d2 OM(t) vecteur position par rapport au temps: a t = dt2 Chap1.1: Décrire un mouvement Les coordonnées du vecteur accélération sont donc: ax(t) dvx (t) = dt ay(t) = ou plus simplement dvy (t) dt Sa norme est a(t) = a(t) = d2 x(t) ax = 2 dt d2 y(t) ay = 2 dt a2x + a2y exprimée en mètres par seconde carrée (m.s-2). Chap1.1: Décrire un mouvement II/ Des exemples de mouvements 2.1 Mouvements rectilignes Un système est animé d’un mouvement rectiligne si sa trajectoire est une droite. Mouvement Vecteur vitesse v Vecteur accélération a Rectiligne uniforme Rectiligne uniformément accéléré v n’est pas constant au cours du temps. Sa norme varie.

Le vecteur vitesse varie tout au long du mouvement tout en gardant une direction unique Direction: droite support de la trajectoire a =.... »