Comment peut-on utiliser le hasard pour déterminer les décimales de pi, un nombre qui n’a pourtant rien d’aléatoire ?

« **Intro : ** Le 14 mars est connu comme le jour de π : en notation américaine, on écrit 3/14, ce qui correspond justement à 3,14, la valeur arrondie de π. Le 14 mars est connu comme le jour de π : en notation américaine, on écrit 3/14, ce qui correspond justement à 3,14, la valeur arrondie de π. π est une constante mathématique définie comme le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre.

Sa valeur est fixe : π ≈ 3,14159265...

C'est donc un nombre purement géométrique, qui ne dépend d'aucun hasard.

On sait aujourd'hui que c'est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et ne présente aucun motif périodique. π est une constante mathématique définie comme le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre.

Sa valeur est fixe : π ≈ 3,14159265...

C'est donc un nombre purement géométrique, qui ne dépend d'aucun hasard.

On sait aujourd'hui que c'est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et ne présente aucun motif périodique. Pourtant, il existe une idée surprenante : on peut retrouver une approximation de π en réalisant des expériences complètement aléatoires. Cela m'amène à me poser la question suivante : jusqu'à quel point peut-on faire confiance au hasard pour approcher π ? C'est cette question que je vais étudier à travers l'expérience de Buffon puis la méthode de Monte-Carlo.

Enfin, je montrerai que ces deux méthodes reposent sur la loi des grands nombres, qui permet de comprendre pourquoi le hasard se stabilise et de mesurer la confiance qu'on peut lui accorder. **1- l’expérience de Buffon ** **1- l’expérience de Buffon ** En 1777, Buffon, imagine une expérience : Il considère un parquet constitué de droites parallèles régulièrement espacées d'une distance ℓ, puis lance au hasard une aiguille de longueur a. À chaque lancer, deux situations sont possibles : À chaque lancer, deux situations sont possibles : soit l'aiguille coupe une droite ; soit elle reste entièrement entre deux droites. On cherche la probabilité que P croise. il suffit de connaître deux paramètres. **r la distance du centre de l’aiguille à la droite la plus proche; avec r **∈ ** [0 ; ℓ/2].

** **r la distance du centre de l’aiguille à la droite la plus proche; avec r **∈ ** [0 ; ℓ/2].

** ⁃ **θ l’angle entre l'aiguille et les droites, avec θ **∈ ** [0 ; π/2].** Lorsque l’une des extrémités de l’aiguille touche exactement une droite, on obtient un triangle rectangle formé dont l’hypoténuse vaut a/2 et le côté opposé à l’angle θ vaut r.

On a alors: sin(θ)=r/(a/2) d’où a/2 sin(θ)=r sin(θ)=r/(a/2) d’où a/2 sin(θ)=r Par conséquent, si l'aiguille ne touche pas une droite, on aura : r> a/2 sin(θ) r> a/2 sin(θ) Si elle chevauche au moins une droite, on aura : r≤a/2 sin(θ Pour le cas où l’aiguille est de même longueur que l’écart entre parquet, a=ℓ, le couple (r; θ) vit dans le rectangle: (r; θ)∈ [0 π/2]. Pour le cas où l’aiguille est de même longueur que l’écart entre parquet, a=ℓ, le couple (r; θ) vit dans le rectangle: (r; θ)∈ [0 π/2]. Donc : Donc : A totale= (ℓ/2) x (π/2) = ℓπ / 4 A favorable= l’aire 0 à π/2 (a/2(sin(θ) A favorable= l’aire 0 à π/2 (a/2(sin(θ) =a/2 [−cos(θ)]0 π/2 =a/2 [−cos(θ)]0 π/2 donc Afav=a/2= ℓ/2 les lames du ; ℓ/2] x [0 ; les lames du ; ℓ/2] x [0 ; sous la courbe r=(a/2)sin(θ), qui se calcule par l’intégrale de dθ sous la courbe r=(a/2)sin(θ), qui se calcule par l’intégrale de dθ = a/2 (0−(−1))=a/2 = a/2 (0−(−1))=a/2 ainsi, pour a = ℓ, P(croisement)= Afavorable/ Atotale = (ℓ/2)/(ℓπ / 4) = 2/π π = 2/P ++ ++ Exemple: Supposons N= 100 000 lancers, on observe C= 63 650 croisements.

Alors P= 63650/100000 = 0,6365 Ainsi, π = 2/0,6365 = 3,1421 (proche de 3,14159…) (proche de 3,14159…) Cette expérience montre une approximation de π, mais réaliser des millions de lancers physiques demanderait un temps considérable. L'idée est donc de remplacer cette expérience par une expérience beaucoup plus simple à simuler sur un ordinateur. C'est précisément le principe de la méthode de Monte-Carlo. **II.

La méthode de Monte-Carlo : approcher π grâce aux probabilités et à l'algorithmique (3min)** **II.

La méthode de Monte-Carlo : approcher π grâce aux probabilités et à l'algorithmique (3min)** On considère un carré de côté 1 dans un repère orthonormé, dans lequel on trace un quart de disque de rayon 1 et de centre O. Les aires sont : Les aires sont : L'aire du carré est : A = 1. L'aire du carré est : A = 1. L'aire d'un disque de rayon 1 vaut : A π. Le quart de disque représente donc le quart de cette aire : A = π/4. Le quart de disque représente donc le quart de cette aire : A = π/4. On tire au hasard un point (X, Y) dans [0 ; 1] × [0 ; 1], avec X et Y indépendants et uniformes.

Tous les points du carré sont donc équiprobables.

Le couple (X ; Y) définit alors un point choisi aléatoirement dans ce carré. Un point M(X, Y) appartient au quart de disque si et seulement si :X² + Y² ≤ 1. Un point M(X, Y) appartient au quart de disque si et seulement si :X² + Y² ≤ 1. Cette condition vient du théorème de Pythagore : la distance OM vaut √(X² + Y²), donc être dans le disque de rayon 1 équivaut à X² + Y² ≤ 1. Cette condition vient du théorème de Pythagore : la distance OM vaut √(X² + Y²), donc être dans le disque de rayon 1 équivaut à X² + Y² ≤ 1. La probabilité que cette inégalité soit vérifiée est égale au rapport entre l'aire du quart de disque et celle du carré. La probabilité que cette inégalité soit vérifiée est égale au rapport entre l'aire du quart de disque et celle du carré. P = π/4 donc π = 4 × P. P = π/4 donc π = 4 × P. π ≈ 4 × (nombre de points dans le quart de disque) / (nombre total de points). Pour tester cette théorie, j’ai réalisé une simulation en Python.

Bien que l’expérience soit simple, elle nécessite un très grand nombre de répétitions pour être précise.

J’ai donc programmé cette méthode chez moi, ce qui m’a permis de simuler en quelques secondes le lancer 100 000 fléchettes virtuelles. Voici comment fonctionne mon algorithme : 1. **D’abord, la génération du hasard : J’utilise la bibliothèque random.... »