Comment les mathématiciens de différentes époques ont abordé la notion d’infini ?

« Comment les mathématiciens de différentes époques ont abordé la notion d’infini ? Jusqu’à où peut-on compter ? Jusqu’à où s’étend l’Univers ? Ces questions nous renvoient vers une même notion : l’infini.

Si en physique on ne retrouve aucun équivalent de ce concept c’est parce que selon l’astrophysicien Christian Magnan : « Toute théorie physique implique des nombres, en tant que tels forcément répartis sur un intervalle fini ».

Néanmoins, en mathématique ce concept est devenu essentiel.

Aujourd’hui, nous allons expliquer comment a été aborder la notion d’infini durant différentes époques. Qu’est-ce que l’infini mathématique ? En mathé matique, le mot infini employé seul n’a pas de sens.

Toutefois, on peut dé finir des expressions.

En effet, on emploie le mot infini comme adjectif pour qualifier un objet qui n’a pas de limite en quantité ou en taille, comme l’ensemble des points du plan gé omé trique, le nombre de dé cimales d’un nombre irrationnel ou encore les ensembles de nombres.

Dans ce cas, on fait ré fé rence à un ensemble où il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments qui le constitue à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. C’est en Europe, au XVIIe siècle, qu’apparait le symbole ∞, dit « Lemniscate ».

C'est le mathématicien John Wallis qui abrégea le concept « infini » par ce symbole.

Mais, il ne fut généralisé qu'en 1713 grâ ce à son adoption par Bernoulli. L’évolution de la pensée de l’infini : L’infini apparaît dans les textes mathématiques dès l’Antiquité, mais il y apparaît comme une propriété négative (est infini ce qui n’est pas fini) et non comme un objet d’étude en soi.

Par exemple, Zénon (~450 av.

JC) tente de montrer l’impossibilité « physique » de l’infini en s’en servant pour diviser les choses en éléments toujours plus petits.

Il en résulte son « paradoxe » de la flèche qui, selon lui, ne devrait jamais pouvoir atteindre sa cible.

En effet, on peut toujours diviser son parcours restant par deux et il restera toujours une portion de chemin à parcourir (1/2, 1/4, 1/8, …), à l’infini.

Dans la mesure où il faut un nombre infini d’étapes pour franchir la distance entre l’arc et la cible, Zénon conclut à l’impossibilité à la flèche d’atteindre sa destination en un temps fini.

Ce paradoxe fut résolu bien plus tard par une des branches des mathématiques qui étudie les sommes infinies de nombres : les séries.

Ajouter ½ + ¼ + 1/8 + 1/16+… correspond à chercher la limite de la somme des termes de la suite géométrique de raison ½ et de premier terme égal à 1, limite qui est égal à 2.

Ce qu’il manquait à Zénon, c’est ce résultat contre-intuitif que la somme d’une infinité de nombres ne donne pas toujours un résultat infini. Quelque siècle plus tard, Jean Duns Scot révèle un paradoxe géométrique liée à.... »