Annexe COMPLEMENTS MATHEMATIQUES

« 80 Annexe COMPLEMENTS MATHEMATIQUES Remarque préalable : Dans toute cette annexe, on notera ℜ l'ensemble des réels. I - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1°) Définition Une fonction de plusieurs variables est une application de ℜn dans ℜ : f : ℜn → ℜ x1 ,x 2 ,..., xn → f (x1, x 2 ,..., xn ) Exemple : f : ℜ3 → ℜ x, y, z → f (x, y,z) = 2xy + z 3 2°) Dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables On dit que f, fonction de n variables, est différentiable par rapport à l'ensemble des n variables en un point (x10,x20,…,xn0), si l'on peut écrire : f (x10 + Δx1 , x20 + Δx 2 ,..., xn0 + Δx n ) = f (x10 , x 20 ,..., xn0 ) + A1 Δx1 + A2 Δx 2 + ...

+ An Δxn où A1 , A 2 …,An sont des fonctions qui tendent vers des limites finies quand Δx1 , Δx2 …,Δxn tendent vers 0.  ∂f  Au point x10, x20, …, x n0, Ai →   quand xi → 0.  ∂x i  x j ,j≠i  ∂f    représente la dérivée  ∂x i  x j ,j ≠i partielle de la fonction f par rapport à la variable xi, à l'ensemble des autres variables x j , j ≠i constantes. Exemple : f : ℜ3 → ℜ x, y, z → f (x, y,z) = 2xy + z 3 Cette fonction de trois variables admet trois dérivées partielles :  ∂f  dérivée partielle par rapport à x, à y, z constants  ∂x  y, z  ∂f  dérivée partielle par rapport à y, à x, z constants  ∂y  x ,z 81  ∂f  dérivée partielle par rapport à x, à y, z constants  ∂z  x, y Les dérivées partielles se calculent comme des dérivées de fonction d'une seule variable, simplement en considérant les autres variables comme des constantes. Exemple : f (x, y,z ) = x 2 y + y2 ; z  ∂f  = 2xy ;  ∂x  y, z  ∂f  2y = x2 + ;  ∂y  x ,z z  ∂f  y2 =− 2  ∂z  x, y z 3°) Théorème de Schwarz Soit une fonction de n variables, f(x1 , x2 , …, xn ).

On peut dériver cette fonction une première ∂2 f ∂  ∂f  fois par rapport à la variable xi, puis par rapport à la variable x j (j≠ i) : = , ou ∂x j ∂x i ∂x j  ∂xi  ∂2 f ∂  ∂f  d'abord par rapport à x j, puis par rapport à xi : .

Si ces deux dérivées secondes = ∂xi∂x j ∂x i  ∂x j  sont définies et continues en un point, alors elles sont égales. Exemple : y2 f (x, y,z ) = x y + ; z 2 2 ∂ f ∂ f = 2x = ; ∂x∂y ∂y∂x 2  ∂f  = 2xy ;  ∂x  y, z  ∂f  2y = x2 + ;  ∂y  x ,z z ∂2f ∂2 f =0= ; ∂x∂z ∂z∂x  ∂f  y2 =− 2  ∂z  x, y z ∂2f 2y ∂ 2 f =− 2 = . ∂y∂z z ∂z∂y II - DIFFERENTIELLE D'UNE FONCTION.

FORMES DIFFERENTIELLES 1°) Différentielle d'une fonction de plusieurs variables Soit une fonction de n variables f(x 1 , x2 , …, x n ).

La différentielle de f, notée df, est une application linéaire de ℜ n dans ℜ, qui à x, y… fait correspondre :  ∂f   ∂f   ∂f     x1 ,x 2 ,..., xn →  x1 +  x2 + ...

+  xn  ∂x1  x j ,j ≠1  ∂x 2  x j ,j ≠2  ∂x n  x j ,j ≠n On note :  ∂f   ∂f   ∂f     df =  dx1 +  dx2 + ...

+  dxn  ∂x1  x j ,j ≠1  ∂x2  x j ,j ≠2  ∂xn  x j ,j≠n 82 Exemple : y2 ; z 2y  df = 2xydx +  x 2 +  dy − z f (x, y,z ) = x 2 y +  ∂f  = 2xy ;  ∂x  y, z  ∂f  2y = x2 + ;  ∂y  x ,z z  ∂f  y2 =− 2  ∂z  x, y z y2 dz z2 2°) Intérêt en Physique La notion de différentielle est extrêmement importante en Physique, car elle permet de simplifier considérablement les problèmes non linéaires, et d'évaluer les faibles variations d'une fonction. Dans le cas d'une fonction d'une variable y=f(x), la différentielle de f est une application linéaire de ℜ dans ℜ :  df x →   x dx Considérer la différentielle de f au point x 0 revient à remplacer la courbe y=f(x) par sa tangente en ce point, et donc de faire une approximation linéaire en ce point : x0 On peut ainsi évaluer simplement les variations de la fonction f au voisinage.... »